Studio di funzione: [math] f{{\left({x}\right)}}=\frac{{{k} \log{{x}}+{h}}}{{{x}-{h}}}[/math] determinare h e k e studiare la funzione

Verso l’Esame di Stato nel Liceo Scientifico

Problema

Considerata la funzione di espressione analitica

f(x) = \( \dfrac{k\log x+h}{x-h} \)

determinare le costanti k, h in modo che il diagramma della funzione passi dal punto A(1;1) ed abbia ivi la retta tangente parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Della funzione determinata trovare il dominio, studiare i limiti nei punti di frontiera e determinare gli eventuali asintoti.

Soluzione

Imponendo il passaggio della curva della funzione dal punto A(1;1) si ricava l’equazione

\( \dfrac{h}{1-h}=1 \)

da cui

\( h=\dfrac{1}{2} \)

L’espressione analitica della funzione è dunque della forma seguente:

\( f(x)=\dfrac{k\log x+\frac{1}{2}}{x-\frac{1}{2}}=\dfrac{2k\log x+1}{2x-1} \)

Determiniamo ora la derivata prima ed imponiamo la condizione f’(1)=-1. Si ha

\( f'(x)=\dfrac{\frac{2k}{x}(2x-1)-2(2k\log x+1)}{(2x-1)^2} \)

e quindi

\( f'(1)=\dfrac{2k-2}{1}=2k-2=-1 \)

da cui

\( k=\dfrac{1}{2} \)

La forma analitica della funzione è

\( f(x)=\dfrac{\log x+1}{2x-1} \)

Dominio e frontiera

La funzione ottenuta è definita nell’insieme

\( A=]0;\frac{1}{2}[\ \cup\ ]\frac{1}{2};+\infty[ \)

La frontiera è

\( \operatorname{Fr}(A)=\{0;\frac{1}{2};+\infty\} \)

Limiti

\( \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\log x+1}{2x-1}=+\infty \)

\( \displaystyle \lim_{x\to\left(\frac{1}{2}\right)^-}\frac{\log x+1}{2x-1}=-\infty \)

\( \displaystyle \lim_{x\to\left(\frac{1}{2}\right)^+}\frac{\log x+1}{2x-1}=+\infty \)

\( \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\log x+1}{2x-1}=0 \)

Conclusioni

Il grafico della funzione ammette l’asse delle ordinate come asintoto verticale a destra, la retta di equazione x=1/2 come asintoto verticale a destra e a sinistra, l’asse delle ascisse è asintoto orizzontale per x→+∞.

L’equazione della retta tangente nel punto A(1;1) è t: y=-x+2.

Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it