Analisi - Studio di una funzione

Studio di una funzione f(x)

Studiare una funzione vuol dire innanzitutto determinarne il dominio: il dominio andrebbe scritto per intervalli.

Con lo studio di una funzione si cerca di tracciarne un grafico approssimativo e per questo si consiglia di seguire questa prassi:

• Determinazione delle eventuali intersezioni con gli assi cartesiani: questo equivale a dire che bisogna risolvere due sistemi.

  Il primo sistema serve per determinare le intersezioni con l’asse x ed è composto dalla funzione e dall'equazione y=0; le soluzioni di tale sistema sono le coordinate x dei punti di intersezione; ovviamente, poiché si stanno determinando le intersezioni con l’asse x, questo vorrà dire che le coordinate y sono sempre 0.

  Ad esempio, se le soluzioni del sistema sono a e b, la funzione f(x) interseca l’asse x nei punti di coordinate A(a;0) e B(b;0).

  Il secondo sistema serve per determinare le intersezioni con l’asse y ed è composto dalla funzione e dall'equazione x=0; le soluzioni di tale sistema sono le coordinate y dei punti di intersezione; ovviamente, poiché si stanno determinando le intersezioni con l’asse y, questo vorrà dire che le coordinate x sono sempre 0.

  Ad esempio, se le soluzioni del sistema sono a e b, la funzione f(x) interseca l’asse y nei punti di coordinate A(0;a) e B(0;b).

• Verificare le simmetrie (questa informazione servirà principalmente per il punto 6).

  Se f(-x)=f(x), la funzione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

  Se f(-x)=-f(x), la funzione è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.

• Studiare il segno della funzione: bisogna risolvere la disequazione f(x)≥0.

• Osservare il comportamento della funzione agli estremi del dominio: questo si traduce nel calcolare i limiti agli estremi del dominio; serve per tracciare l’andamento del grafico della funzione.

  { } ∞

  0

  Ad esempio, se il dominio è D=R\ =]-∞;0[ U ]0;+∞[, si deve calcolare il limite per x che tende a -∞, per x che tende a 0^-, per x che tende a 0⁺ e per x che tende a +∞ della funzione.

• Determinare gli eventuali asintoti: una volta calcolati i limiti agli estremi del dominio, è facile individuare gli eventuali asintoti (e calcolarne le equazioni) se si tiene conto di queste regole:

  ( ) =∞

  lim f(x)

  Se allora la retta di equazione r: x=h è asintoto verticale della funzione f(x).

  x→ h ( )=l

  lim f(x)

  Se allora la retta di equazione r: y=l è asintoto orizzontale della funzione f(x).

  x→∞