Analisi - Studio di una funzione

Studio di una funzione f(x)

Studiare una funzione, vuol dire innanzitutto determinarne il dominio: il dominio andrebbe scritto per

intervalli .

Con lo studio di una funzione si cerca di tracciarne un grafico approssimativo e per questo si consiglia di

seguire questa prassi:

1.determinazione delle eventuali intersezioni con gli assi cartesiani: questo equivale a dire che bisogna

risolvere due sistemi:

il primo sistema serve per determinare le intersezioni con l’asse x ed è composto dalla funzione e

dall'equazione y=0; le soluzioni di tale sistema sono le coordinate x dei punti di intersezione; ovviamente,

poiché, si sta determinando le intersezioni con l’asse x, questo vorrà dire che le coordinate y sono sempre 0;

ad esempio se le soluzioni del sistema sono a e b, la funzione f(x) interseca l’asse x nei punti di coordinate

A(a;0) e B(b;0);

il secondo sistema serve per determinare le intersezioni con l’asse y ed è composto dalla funzione e

dall'equazione x=0; le soluzioni di tale sistema sono le coordinate y dei punti di intersezione; ovviamente,

poiché, si sta determinando le intersezioni con l’asse y, questo vorrà dire che le coordinate x sono sempre 0;

ad esempio se le soluzioni del sistema sono a e b, la funzione f(x) interseca l’asse y nei punti di coordinate

A(0;a) e B(0;b);

2.verificare le simmetrie (questa informazione servirà principalmente per il punto 6):

se f(-x)=f(x) la funzione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto l'asse y;

se f(-x)=-f(x) la funzione è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto l'origine.

3.studiare il segno della funzione: bisogna risolvere la disequazione f(x)≥0 ;

4.osservare il comportamento della funzione agli estremi del dominio: questo si traduce nel calcolare i

limiti agli estremi del dominio; serve per tracciare l'andamento del grafico della funzione.

{ } ∞

0

Ad esempio se il dominio è D=R\ =]-∞;0[ U ]0;+∞[ si deve calcolare il limite per x che tende a -

- +

, per x che tende a 0 , per x che tende a 0 e per x che tende a +∞ della funzione;

5.determinare gli eventuali asintoti: una volta calcolati i limiti agli estremi del dominio, è facile

individuare gli eventuali asintoti (e calcolarne le equazioni) se si tiene conto di queste regole:

( ) =∞

lim f x

- se allora la retta di equazione r: x=h è asintoto verticale della funzione f(x);

x→ h ( )=l

lim f x

- se allora la retta di equazione r: y=l è asintoto orizzontale della funzione f(x);

x→∞ (

lim f x) ∞

- se = allora è verificata la condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché

x→∞

esista almeno un asintoto obliquo; in questo caso la retta di equazione r: mx+q=0 è asintoto obliquo

della funzione f(x) dove:

( )

f x

lim

m= se tale limite è finito

x

x →∞