Studio di funzione

Studio di funzione

Dominio

Quando si calcola il dominio bisogna fare attenzione a queste cose:

• Se nella funzione ci sono denominatori, vanno posti ≠0
• Gli argomenti delle radici di indici pari vanno posti ≥0
• Gli argomenti dei logaritmi vanno posti >0
• Quando si ha R(x)^g(x), la funzione R(x) va posta >0

Simmetrie e periodicità: funzioni pari, dispari e periodiche

Una funzione f(x) si dice pari quando f(-x)=f(x), se verificata questa condizione, il grafico della funzione sarà simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

Una funzione f(x) si dice dispari quando f(-x)=-f(x), se verificata tale condizione il grafico della funzione sarà simmetrico rispetto all'origine.

Una funzione f(x) si dice periodica di periodo T (T∈ℝ) se verificata la condizione f(x+T)=f(x), se verificata tale condizione il grafico sarà uguale dopo ogni periodo.

Asintoti verticali e orizzontali

Si dice che la retta x=a sia un asintoto verticale per la funzione f(x) se si verifica almeno una di queste quattro condizioni:

lim_x→a^- f(x) = +∞   lim_x→a⁺ f(x) = +∞   lim_x→a^- f(x) = -∞   lim_x→a⁺ f(x) = -∞

Per trovare eventuali asintoti verticali bisogna identificare i punti in cui ci sono problemi di definizione ("buchi", "estremi del dominio") e vedere se almeno uno dei limiti destro o sinistro nel punto da ±∞

Studio di funzione

Dominio

Quando si calcola il dominio bisogna fare attenzione a queste cose:

• Se nella funzione ci sono denominatori, vanno posti ≠0
• Gli argomenti delle radici di indice pari vanno posti ≥0
• Gli argomenti dei logaritmi vanno posti >0
• Quando si ha R(x)^g(x), la funzione R(x) va posta >0

Simmetrie e periodicità: funzioni pari, dispari e periodiche

Una funzione f(x) si dice pari quando f(-x) = f(x), se verificata questa condizione, il grafico della funzione sarà simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Una funzione f(x) si dice dispari quando f(-x) = -f(x), se verificata tale condizione il grafico della funzione sarà simmetrico rispetto all’origine.

Una funzione f(x) si dice periodica di periodo T se verificata la condizione f(x+T) = f(x), se verificata tale condizione il grafico sarà uguale dopo ogni periodo.

Asintoti verticali e orizzontali

Si dice che la retta x=a sia un asintoto verticale per la funzione f(x) se si verifica almeno una di queste quattro condizioni:

lim f(x) = +∞

lim f(x) = -∞

lim f(x) = +∞

lim f(x) = -∞

Per trovare eventuali asintoti verticali bisogna identificare i punti in cui ci sono problemi di definizione ("buchi" ed estremi del dominio) e vedere se almeno uno dei limiti destro o sinistro nel punto dà ±∞.

Si dice che la retta y=l è un asintoto orizzontale di f(x) per x→+∞ se lim f(x)=l (asintoto orizzontale destro)

A differenza degli asintoti verticali, un asintoto orizzontale può essere intersecato dal grafico della funzione.

Per trovare gli asintoti orizzontali bisogna fare il seguente limite:

lim f(x)={l∈ℝ ⇒ y=l è asintoto orizzontale x→±∞ +∞ non esiste non ci sono asintoti orizzontali

Asintoti obliqui

Si dice che la retta y=mx+q è un asintoto obliquo di f(x) per x→+∞ o lim [f(x) - mx - q]=0 x→±∞

Per trovare l’asintoto obliquo di una funzione bisogna prima risolvere alcuni limiti:

m=lim f(x) ⇒ e m∈ℝ∧m≠0 ⇒ q=lim [f(x) - mx(x)] ⇒ e q∈ℝ ⇒ x→±∞ x x→±∞ y - mx + q è asintoto obliquo della funzione

Nel caso di funzioni razionali, (d c’è l’asintoto obliquo se e solo se il grado del numeratore supera di uno il grado del denominatore

Massimi e minimi

Si dice che M è il massimo di f in D se f(x)≤M ∀x∈D ed esiste almeno un punto x₀∈D tale che f(x₀)=M

Si dice che m è il minimo di f in D se f(x)≥m ∀x∈D ed esiste almeno un punto x₀∈D tale che f(x₀)=m

Teorema di Weierstrass

Sì, se f:[a,b]⊆ℝ→ℝ è una funzione continua allora ha sicuramente massimo e minimo

I punti di massimo o minimo possono trovarsi:

• Tra i punti stazionari interni (cioè punti in cui f'(x)=0);
• Tra i punti angolosi interni (cioè punti in cui f'(x) non esiste);
• Eventuali punti di bordo.

Punti stazionari e segno della derivata prima

Studiare il segno della derivata prima ci permette di capire in quali zone f(x) è crescente, decrescente e costante, insieme ad altre informazioni di poter tracciare il grafico qualitativo della funzione.

Supponiamo che f'(x) si annulli in x₀, ovvero f'(x)=0; possono verificarsi tre casi:

• Punto di minimo relativo in cui la funzione decresce prima del punto x₀ e poi cresce;
• Punto di massimo relativo in cui la funzione cresce prima del punto x₀ e poi decresce;
• Punto di flesso a tangente orizzontale crescente;
• Punto di flesso a tangente orizzontale decrescente.

Concavità, flessi e segno della derivata seconda

Una funzione si dice convessa se, comunque presi due punti sul suo grafico, il segmento che li unisce sta sopra, o al limite coincide con il grafico della funzione.

Una funzione si dice concava se, comunque presi due punti sul suo grafico, il segmento che li unisce sta sotto, o al limite coincide con il grafico della funzione.