Funzioni di una variabile reale
Esercizio 16
Studiare limitatezza (superiore ed inferiore), monotonia, parità e periodicità della funzione f : R → R data da f(x) = [cos2 x], dove [x] denota la parte intera di x.
Soluzione. Per definizione di parte intera, [cos2 x] = 1 se x = kπ, con k ∈ Z, mentre f(x) = 0 altrimenti.
La funzione f(x) = [cos2 x] è dunque inferiormente limitata (dal valore 0), e superiormente limitata (dal valore 1), ed è limitata, non è monotona, è pari, non è dispari ed è periodica di periodo minimo T = π.
Studiare limitatezza, monotonia, parità e periodicità della funzione f r data da f di x quale parte intera del coseno al quadrato di x per definizione di parte intera
Abbiamo che una parte intera del coseno al quadrato di x vale uno ogni volta che x è un multiplo intero di pi greco. Ovvero quando il coseno sostanzialmente vale uno o meno uno, altrimenti la parte intera vale zero.
Dal momento che il coseno risulta essere un numero compreso tra -1 e 1, quindi il valore assoluto o il suo quadrato è un numero compreso tra 0 e 1. Estremi esclusi. Ne segue che la funzione f di x quale parte intera di x è inferiormente limitata ad un valore zero, che è superiormente limitato da formula1.
Dunque limitata non è una funzione monotona, in quanto non è né crescente né decrescente su tutto R. È una funzione pari. Come si può verificare direttamente dalla definizione, non è dispari poiché non è una funzione nulla ed è una funzione periodica. Il periodo minimo è esattamente pi greco.
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