Funzioni di una variabile reale
Esercizio 17
Studiare limitatezza (superiore ed inferiore), monotonia, parità e periodicità della funzione f : R → R data da f(x) = 4|x3| + cos(4x).
Soluzione. La funzione f non è superiormente limitata a causa del termine |x3|, ma è inferiormente limitata, essendo |x3| ≥ 0 e cos(4x) ≥ −1 per ogni x ∈ R. f non è dunque limitata; f è pari, infatti si ha
f(−x) = 4|−x3| + cos(−4x) = 4|x3| + cos(4x) = f(x).
f non è dispari e non è periodica.
Limitatezza monotonia a parità di periodicità della funzione f r definita da f x quale. Quattro Modulo di sei cubo più coseno di quattro [math]{x}[/math]
La funzione data non è anzitutto superiormente limitata in quanto c'è presenza del termine modulo di x al cubo, che non è una funzione superiormente limitata. Mentre invece è inferiormente limitata, essendo sempre il modulo di x maggiore di zero.
Il termine coseno di quattro x è sia superiormente limitato da uno, sia inferiormente limitato da almeno uno. Ne segue che f non è superiormente limitata, ma è inferiormente limitata.
In particolare la funzione, non essendo superiormente limitata, non è una funzione limitata f una funzione pari. Infatti basta usare la definizione f calcolata in meno x è uguale a quattro per il modulo di meno x al cubo, in quanto meno x tutto al cubo e meno x al cubo più coseno di meno quattro x e quindi sostituiamo semplicemente AX2X1 al modulo di meno x al cubo è come fare il modulo di x al cubo.
Quindi per definizione una funzione pur non essendo la funzione nulla non è una funzione dispari. E ancora una volta il termine modulo di x al cubo rompe la periodicità di f. Quindi f non è una funzione periodica.
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