Serie numeriche e serie di funzioni 1
Serie numeriche e convergenza puntuale di serie di funzioni
Sunto - Il lavoro contiene la risoluzione di alcuni esercizi sullo studio del carattere di serie numeriche e sulla convergenza puntuale di serie di funzioni.
Gli esercizi svolti permettono di rivisitare le tecniche applicative nello studio del carattere di una serie utilizzando uno dei seguenti criteri: del rapporto, della radice, di Leibniz, del confronto di Gauss e del confronto asintotico, del confronto integrale.
Per altri esercizi sono forniti opportuni suggerimenti come guida alla risoluzione e sono indicati i risultati. A corredo del lavoro sono proposti altri esercizi da risolvere.
Si segnala anche un approfondimento a proposito della somma di una serie con i termini a segno alterno che verifica definitivamente le ipotesi del criterio di Leibniz.
1) Studio della serie
+∞ x
n
∑
1) − +
x
3 2
n 1
=
n 1
La serie è a termini positivi, quindi è regolare. Per lo studio del carattere ci si avvale delle proprietà della serie armonica generalizzata
+∞ 1
∑ α
n
=
n 1 ∀α ∀α≤
Ricordiamo che quest’ultima converge per >1 e diverge positivamente 1.
Notiamo che ⇔
3-2x>0 x<3/2;
⇔ x>1
x>3-2x
Sussistono i seguenti casi.
Caso x<0
→ ∞
+ è infinitesimo ed il denominatore
Il numeratore della termine generale della serie per n
⇒ →
a 0;
è infinito n
In particolare possiamo scrivere
x x
n n 1
= = =
a (1.1)
n − +
x
3 2 1 1
n 1 − −
+ +
x x
3 2 3 3
n n
1 1
− −
x x
3 2 3 2
n n
Quindi la serie in esame ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata
+∞ 1 2
∑ − > ⇔ < ;
che converge se 3 3 x 1 x
−
3 3 x
n 3
=
n 1
Poiché si sta considerando il caso x<0 la condizione è soddisfatta, dunque la serie converge.
Caso x = 0
+∞ +∞ +∞
1 1
∑ ∑ ∑
= ⇒
a la serie ha lo stesso carattere della serie che converge
n +
3 3
n
1
n
= = =
n
1 1 1
n n
Caso 0<x<3/2
Sia il numeratore che il denominatore del termine generale della serie, per n→+∞, tendono a +∞; tenendo presente la (1.1), la serie ha ancora lo stesso carattere della serie
+∞ 1
∑
−
3 3 x
n
=
n 1
Quindi
2 2 3 ≤
∈ ∈
x 0; x ;
per ; per risulta 3-3x 1 quindi la serie diverge
converge
3 3 2
positivamente.
Caso x = 3/2
La serie assume la seguente forma
3
+∞ +∞ n 2
∑ ∑ ∞
= il cui termine generale diverge a + e quindi la serie stessa diverge
a n 2
= =
1 1
n n
positivamente.
Caso x > 3/2
Il numeratore del termine generale tende a +∞, il denominatore è infinitesimo e quindi risulta = +∞
lim a ;
n
→+∞
x
La serie diverge positivamente.
Riassumendo i casi precedenti scriviamo:
2 2
< ⇒ ≥ ⇒
; positivamente.
x la serie x la serie
converge diverge
3 3
Esercizi proposti
Esercizi proposti - Verificare che per le serie seguenti sussistono i risultati indicati.
1.a)
+
+∞ 2 3 x
n n
∑
1.a) −
+
4 1 2 x
n n
=
n 1
Risultato: La serie converge per x<1; diverge positivamente per x≥1.
1.b)
+∞ x
n
∑
1.b) − +
x
2 1 5
n
=
n 1 ∨
Risultato: La serie converge per x<-1 o x>2; diverge positivamente per -1≤x≤2.
1.c)
+∞ x
n
∑
1.c) − +
x
4 3
n
=
n 1
Risultato: La serie converge per x<3/2; diverge positivamente per x≥3/2.
2)
+∞
∑ −
3 1 nx
n e
2) =
n 1.
La serie è a termini positivi e si studia agevolmente con il criterio del rapporto.
Risultato: La serie converge per x>0 e diverge positivamente per x≤0.
3)
+∞ x
n
∑
3) ( )
+ 2 !
n
=
1
n.
La serie è a termini positivi e la si studia con il criterio del rapporto.
∀x∈R.
Risultato: La serie converge.
Altre serie che si studiano con il criterio del rapporto
−
+∞ n ( x 1)
e
∑ Risultato: per ogni x reale.
3.a) Converge
!
n
=
n 0 2
+∞ n x
e
∑ Risultato: per x≤0; per x>0.
3.b) Converge diverge positivamente
!
n
=
n 0
+∞ n !
∑ ≤
3.c) Risultato: per x≤0; per x>0.
Diverge positivamente converge
2
n x
e
= 0
n
4)
+
+∞ ( n 2)!
∑
4) + ·
2
( n 1) n !
=
n 1
La serie è a termini positivi, quindi è regolare. Si può semplificare l’espressione del termine generale:
+ + + +
( n 2)! ( n 2)( n 1) n ! n 2
= = =
a
n + · + · +
2 2
n n n n n
( 1) ! ( 1) ! 1
A questo punto studiando il limite del termine generale
lim a
n
→+∞
n
si evince che non è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza (perché non è infinitesimo) quindi…
Risultato: La serie diverge positivamente.
5)
−
2 nx 3
−
+∞
2 n 3
∑
5)
+
4 n 1
=
n 1
La serie è a termini positivi e la si studia con il criterio della radice. Si ha:
−
2 nx 3
−
2 nx 3
− −
2 n 3 2 n 3 1
n −
= = = x
lim lim 4
n + + x
2
4 n 1 4 n 1 2
→+∞ →+∞
n n − < ⇔ >
x
Risultato: La serie converge se 4 1 x 0; diverge positivamente per x≤0.
6)
+∞
∑ −
n ( x 2)
e
6) =
n 1
Si tratta di una serie a termini positivi, in particolare è una serie geometrica di ragione
+ −
( n 1)( x 2)
a e −
= = =
+ x 2
n 1
q e
−
n ( x 2)
a e
n
Una serie geometrica converge se la sua ragione è in valore assoluto minore di uno (q<1), mentre non converge se q≥1. Nel caso in esame se la serie non converge (essendo a termini positivi) diverge positivamente.
Ebbene risulta
−
< < ⇔ <
x 2
0 e 1 x 2
Risultato:
La serie converge per x<2 e la sua somma vale
+∞ x 2
a e
∑ − = =
n ( x 2) 1 ;
e −
− − x 2
q e
1 1
=
n 1.
Per x≥2 la serie diverge positivamente.
7)
+∞ 1
∑ · log
n n
=
n 2
La serie è a termini positivi, quindi è regolare. Lo studio del carattere della serie si effettua con il criterio del confronto integrale.
Intanto osserviamo che è soddisfatta la condizione necessaria (C.N.) per la convergenza:
=
lim a 0
n
→+∞
n
Ma proveremo che la serie diverge positivamente.
Considerando la funzione di variabile reale
=
f ( x ) , per x≥2,
1
· log
x x
proviamo che sono soddisfatte tutte le ipotesi del criterio del confronto integrale:
f ( n ) = an, ∀ n = 2,3,...;
- La funzione è positiva in tutto l’intervallo [2;+∞[;
- lim f(x) = 0;
- In ogni punto dell’intervallo considerato la derivata prima è strettamente negativa:
+
log x 1
= − <
f '( x ) 0
( ) 2
·
x log x
E quindi la funzione è ivi strettamente decrescente.
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