Slide di Teoria di analisi 1

Analisi 1

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Concetto di limite

Che cosa si intende per infinitesimo? Che cosa si intende per infinito?

∀ > 0 ⇒ x > k

∀ > 0 ⇒ − < 0

Che cos’è un intorno di un punto?

Qual è lo scopo di studiare un limite di una funzione? lim = →

A che cosa serve calcolare un limite di una funzione?

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Permette di studiare una funzione anche laddove non sia definita nel suo dominio. Si parla di punti di discontinuità, di non esistenza, in cui vogliamo comprendere come la funzione si comporti in prossimità di queste situazioni.

Definizioni di limiti

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

• 1. Definizione di limite ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0: − | < ⇒ | − l < lim = →
• 2. Definizione di limite ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0 ∶ − | < ⇒ | >k lim = ∞ →
• 3. Definizione di limite ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0: | < ⇒ | − l < lim = →∞
• 4. Definizione di limite ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0 ∶ | < ⇒ | >k lim = ∞→∞

Teoremi dei limiti

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Teorema dell’unicità

Se il limite di una funzione esiste, allora esso è unico.

Ipotizzando per assurdo che il limite di una funzione dia due valori diversi:

∀ > 0 ⇒ ∃ > 0: − | < ⇒ | − l < lim = →

lim = ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0: − | < ⇒ | − < →

Per cui ∀ > 0 ⇒ ∃ > 0 ∶ − | < ⇒ | − + | − | < 2 ∀ > 0 ⇒ − < 2

∀ > 0 ⇒ f x − m − + < 2

Questa relazione se l ed m sono diversi tra loro non può essere soddisfatta. È vera se e solo se =

Algebra dei limiti

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Algebra dei limiti lim = lim = Siano i limiti di due funzioni → →

Limite della somma lim + =+→

Limite della differenza lim − =−→

() Limite del quoziente lim =() →

lim ∗ = ∗ Limite del prodotto →

lim ∗ =∗ Limite con moltiplicazione per una costante →

lim (()) = Limite di una potenza →

Forme indeterminate dei limiti

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Forme indeterminate dei limiti.

Alcuni limiti notevoli

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Limiti notevoli delle funzioni goniometriche.

Generalizzazione.

Approfondimento archi associati

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

sen

Approfondimento archi associati

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Ripasso goniometria

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Alcuni limiti notevoli

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Limiti notevoli delle funzioni esponenziali e logaritmiche.

Generalizzazione.

Gerarchia degli infiniti

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Gerarchia degli infiniti.

Gerarchia degli infinitesimi

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Gerarchia degli infinitesimi.

Limiti notevoli dimostrazione 1

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021.

() =

Considerando la funzione definita per tutti i punti del dominio a meno di.

La funzione seno è definita tra -1 e +1. = 0. Dividendo tutto per x

−1 ≤ ≤ 1

1 1e−

Da qui, si deduce che saranno due rami di iperbole. Dunque

1 1 − ≤ ≤ rappresentando le funzioni graficamente

Comportamento al limite che può essere studiato: lim =1→0

Perché il limite permette di studiare la funzione in quei punti in cui non è definita. Questo perché per x=0 f(x) non è definita, e qui y tenderebbe a 1.

E se il limite va a + o – infinito??

Vincenza