Analisi matematica - limiti

Limite e grafico di una funzione

y=f(n) grafico costituito da una coppia di numeri (n;y) y=f(n).

Limite: data una funzione f(n) quando si avvicina ad un certo numero. Quale è il comportamento di una data funzione quando n assume valori arbitrariamente vicini ad esso dato punto. Indipendentemente dal valore che la funzione assume nel punto n₀.

lim f(n) n₀

Esempio 3 2 1 n₀: nel punto la funzione non è definita.

lim f(n) 3 n→n_0⁺

lim f(n) 2 n→n_0^-

lim 1 = +∞ n→0^- x

lim 1 = -∞ n→0⁺ x

0,5 20 0,05 200 0,005 200 0,0005 2000

Definizione di limite

y=f(n) grafico costituito da una coppia di numeri (n;y) y=f(n).

Limite. Definizione: data una funzione (f(n) quando si avvicina ad un certo numero. Questo è il comportamento di una data funzione quando n assume valori arbitrariamente vicini ad esso dato punto n0. Indipendentemente dai valori che la funzione (f assume nel punto n0.

lim f(n) n→n0

Esempio: nel punto n0 la funzione non è definita.

lim f(n)=3 n→n0⁻

lim f(n)=2 n→n0⁺

lim 1 = +∞ n→0⁺ n

lim 1 = -∞ n→0⁻ n

0.5 20 0.05 20 0.005 200 0.0005 2000

n u -0.5 -2 -0.05 -20 -0.005 -200

y=1n

Se esistono il limite destro _{limn→n₀⁺}(f(n)) e il limite sinistro _{limn→n₀^-}(f(n)) ed essi sono uguali, la curva è continua e si dice funzione continua.

_limn→n₀ f(n) = f(n₀)

Definizione formale e continuità

Definizione ∀ε>0: |f(n)-L| = δ∃δ: se |n-n₀|

1) _limn→n₀ f(n) = _{limn→n₀⁺} f(n) = _{limn→n₀^-} f(n)

Perché sia continua l'idea è essere definita nel punto n₀ e _limn→n₀ f(n) = f(n₀).

2) Potrebbe succedere che f(n₀) ≠ _limn→n₀ f(n). In questo caso non è continua.

Funzione continua lim (f(x)_n) = f(n₀) x→n₀

Esercizio: esempio di calcolo dei limiti

Esercizio: Esempio di calcolo dei limiti.

lim n→0 (√n²+9) - 3 n²

Osservazione: la funzione y= √n²+9 - 3 non è definita in n=0, non è continua nel punto n₀.

Osservazione: il numeratore calcolato in n=0 vale zero, il denominatore in n=0 vale 0 => la frazione tende a 0 [Forma indeterminata].

lim n→0 (√n²+9) - 3 n² = lim n→0 1 / (√n²+9) + 3

Proprietà dei limiti

Proprietà dei limiti. Siano l, L, ∈ numeri reali e sia lim (f_n) = l n→a e lim (g_n) = l n→a.

1. lim e = e n→a

y = e

• Lim (f_n + g_n) = lim (f_n) + lim (g_n) n→a n→a n→a.
• Lim (f_n - g_n) = lim (f_n) - lim (g_n) n→a n→a n→a.
• Lim (f_n · g_n) = lim (f_n) · l n→a n→a.
• Lim (f_n) = lim (f_n) = l n→a g_n n→a g_n 1 = 1/n n ≠ 0.

3. lim (f_n) = lim (f_n) n→∞ C₁: n→∞ n→∞

lim n² - 4 n→2 n - 2 = lim (n - 2)

C₂: lim (n² + 2) = n² - 4 n→2 n - 2

lim n→a x = l infinito = ∞ Indeterminato

Asintoto orizzontale

lim_n→+∞ f(n) = l ad esistere di n, la funzione tende ad assumere un valore costante.

Si dice che la funzione ha un asintoto orizzontale. L’asintoto è la retta di equazione y=l.

lim_n→-∞ f(n)=H

La retta di equazione y=l è l’asintoto orizzontale della funzione.

Esempio: ha 2 asintoti orizzontali la retta y=π/2 e la retta y=-π/2.

y = e^{ln x2}

lim_n→∞ e^{ln n2} = e^+∞ = +∞

Ha un asintoto orizzontale per n=0+

lim_n→∞ 1/^√n2 - lim_n→∞ 1/n = lim_n→∞ 1/√n² - (lim_n→∞ 1/n)

Tavole indeterminate

Tavole indeterminate:

• 0/0
• ∞-∞
• 0·∞
• ∞/0
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Continuità di una funzione in un punto

Continuità di una funzione in un punto.

• F deve essere definita in n₀ (ossia n₀ E Dom(f_n)).
• Deve esistere lim f_n E R.
• Deve essere lim f_n = l.

µ: l = l^- = l⁺

5. µ: lim f_n = f(n₀)

Osservazione: Se la funzione è continua allora posso scambiare il limite con f.

lim f_n = f (lim n) = f(n₀)

Tipi di discontinuità

• Se non è verificata almeno una tra [1] e [3] => la funzione è discontinua in n₀ (asintoto verticale) lim f(x) = l^- lim f(x) = l⁺.

µ: l ≠ l⁺ discontinuità di tipo salto.

1) lim f_n = lim f_n = f(n₀) n → n₀^- n → n₀⁺

f(n) = L→di sinistra eliminabile eliminabile.

Se una funzione è continue ∀ n ∈ Dom (n)∂ dice che elegante del suo dominio.

Esempi di funzioni continue

Esempi di funzioni continue:

• Funzioni polinomiali y = a_nnⁿ + a_qn^n... eo etc.
• Funzioni esponenziali: y = aⁿ a > 0 a ≠ 1.
• Funzioni logaritmo y = log_a n (non è definita in n a > 0 a ≠ 1 lim.

Proprietà di continuità

Proprietà di continuità. Siano f(m) e g(m) funzioni continue, allora:

• F(m) + g(m) è continua.
• F(m) - g(m) è continua.
• F(m) * g(m) è continua.
• F(m) / g(m) è continua tranne quando il denominatore g(m) è annullato (se g(m) ≠ 0).
• F(g(m)) è continua.

Esempi

Esempi:

• Y = m³ - 3m + 1.

Polinomio di 3° grado, continuo ∀ m ∈ ℝ

2. y = ₁/^n-2

∄ ∈ ℝ n ≠ ℝ

∀ n ≠ m: 2

Quindi y(m) non è continua in n=2

X = n-2

y = ₁/^X

X = n-2

lim _{n→2⁺ 1}/^n-2 = +∞

lim _{n→2^- 1}/^n-2 = -∞