Limiti - Teoria ed esercizi

Limiti

Generalità teoriche sui limiti

Il concetto di intorno

∈ ℝ, un intorno è un intervallo aperto centrato in detto centro dell’intorno, mentre la semi-ampiezza dell’intervallo viene detta raggio dell’intorno ().

Si può definire l’intorno come l’insieme dei punti che hanno una distanza da minore di 0 ( | | I( , ) = − ; + ) = { ∈ ℝ: − < } 0 0 0 0.

Intuire il concetto di limite

Fino ad ora è chiaro che le funzioni sono quantità variabili, mentre i limiti esprimono il comportamento, cioè come variano, di queste quantità. ()

Il problema che si pone è il seguente: studiare il comportamento dei valori di una funzione quando la variabile tende ad un dato valore ∈ ℝ ∪ {±∞} 0.

Esempio 1

1 (−∞,() = : 0) ∪ (0, +∞) 2.

La funzione non permette che si possa dividere per 0, però è possibile osservare cosa succede quando il valore di si avvicina a 0 ( → 0):

1 1 … ± ± 10 100 1 2 4 10 10 … 2.

Si noti come man mano che tende a 0, il valore della variabile dipendente assume un valore sempre più grande e cioè:

1 lim = +∞ 2 →0.

( → ±∞) Si osservi ora cosa succede quando tende a valori sempre più e meno grandi.

2 ±10 ±10 … 1 1 1 … 2 2 4 10 10 1 lim =0 2 →±∞.

I diversi casi di limite

() L’obiettivo è rendere rigorosa l’idea che i valori tendano al valore quando il valore di tende al valore .0

() Questo significa che è possibile rendere i valori vicino a quanto si vuole, scegliendo opportuni valori di abbastanza vicini a .0

I caso: ∈ ℝ, ∈ ℝ

| | − < Se scelgo nell’intorno di raggio 0 |()() − | < Il valore di cade nell’intorno di e cioè.

Si dà la definizione di questo limite:

| | |() lim (x) = ↔ ∀ > ∃ > ∶ − < → − | < →0.

II caso: ∈ ℝ, = +∞

| | |() lim (x) = + ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ − < → − | < →0.

III caso: ∈ ℝ, = −∞

| | lim (x) = − ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ − < → () < − →0.

IV caso: → +∞, ∈ ℝ

|() lim (x) = ↔ ∀ > ∃ > ∶ > → − | < →+∞.

V caso: → −∞, ∈ ℝ

|() lim (x) = ↔ ∀ > ∃ > ∶ < − → − | < →−∞.

VI caso: = +∞, = +∞

lim (x) = + ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ > → () > →+∞.

VII caso: = +∞, = −∞

lim (x) = − ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ > → () < − →+∞.

VIII caso: = −∞, = +∞

lim (x) = + ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ < − → () > →−∞.

IX caso: = −∞, = −∞

lim (x) = − ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ < − → () < − →−∞.

Limiti unilaterali

Si analizza il limite da destra e da sinistra. La definizione di limite cambia in questo modo:

|() lim (x) = ∈ ℝ ↔ ∀ > ∃ > ∶ < < + → − | < + →0.

|() lim (x) = ∈ ℝ ↔ ∀ > ∃ > ∶ − < < → − | < − →0.

Proposizione: esistenza del limite

Il limite di una funzione esiste e vale se e solo se esistono e sono uguali il limite destro e sinistro.

lim (x) = ↔ lim (x) = lim (x) = −+ → → →0 00.

Se il limite destro e sinistro non esistono o non sono uguali allora il limite non esiste.

Asintoti

Asintoti orizzontali

ℝ → ℝ = −∞ +∞.

Data , la retta è asintoto orizzontale per a e a se rispettivamente lim (x) = lim (x) = e →+∞ →−∞.

Asintoti verticali

ℝ → ℝ = lim (x) = ∞.

Data , la retta è asintoto verticale per se 0 + →0 lim (x) = ∞ oppure − →0.

Asintoti obliqui

ℝ → ℝ = + → ±∞.

Data , la retta è asintoto obliquo per.

La funzione all’infinito ha crescita lineare, cioè si comporta come una retta. = Quindi il suo rapporto con la retta (si escluda per ora) deve dare come valore 1.

() () =1 → = () = ≠ In modo rigoroso: →±∞ → ∞ () +.

Al limite di la differenza tra ed dovrebbe dare come valore 0 dato che si stanno sottraendo due enti che si comportano allo stesso modo e sono quindi uguali = () − In modo rigoroso: →±∞.

I tre teoremi sui limiti

1 - Teorema di unicità del limite

Enunciato

Se una funzione ammette il limite (in un punto Xo), allora tale limite sarà unico.

Dimostrazione

Primo passaggio.

Il teorema mi dice che il limite (se esiste) è unico: io allora parto con l’assumere un assurdo: dirò che la funzione in Xo ammetterà due limiti diversi e cioè:

lim () = 1 → ≠ 0 1 2.

lim () = 2 →0.

Secondo passaggio.

) Assumiamo che il raggio dei due intorni, cioè deve avere una lunghezza minore della | | −1 2 < metà della distanza tra e cioè 1 2 2.

Terzo passaggio.

Scriviamo le definizioni dei due limiti:

• Prima definizione: | | |() | ∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − < 1 0 1 1.
• Seconda definizione: | | |() | ∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − < 2 0 2 2.

{ } = min , pongo in modo da scegliere il raggio dell’intorno più piccolo e fare valere 1 2 nella generalità tutte le condizioni.

Quarto passaggio.

| | −1 2 < Vado a riprendere la condizione che avevo stabilito inizialmente: 2 < − | | 2.

Porto il 2 dall’altra parte: 1 2.

Aggiungo e sottraggo all’interno del valore assoluto f(x) in modo da avvicinarmi alle condizioni che derivavano dalla definizione dei due limiti (terzo passaggio) senza perdere di generalità (aggiungendo e sottraendo la stessa quantità è come se sommo 0 e quindi non creo ambiguità); dopodiché ordino i termini per avvicinarmi a quelle condizioni appena citate:

< − + − () = ( − ()) + ( − ) | ( ) | ( ) 2 | | 1 2 21.

A questo punto sfrutto la disuguaglianza triangolare < ( − ()) + ( − ) < − + − ( ) | ( ) | | ( ) | 2 | | 2 1 21.

Guardando poi alle condizioni che derivano dalla definizione dei due limiti vado a vedere | ( ) | | ( ) | − < − < che e 1 2.

E quindi posso scrivere: < − + − < + = 2 | ( ) | | ( ) | 2 1 2 < 2 2.

Sono arrivato ad affermare che ma questo è un assurdo.

Quindi la mia ipotesi che esistono due limiti diversi è errata e quindi vuol dire che esisterà un solo unico limite.

2 - Teorema di permanenza del segno

Enunciato

Se il limite in Xo di una funzione è positivo allora vuol dire che la funzione è localmente positiva (in un intorno di Xo).

lim () = > 0 > 0 E cioè se allora →0.

Dimostrazione

L’obiettivo è dimostrare che f(x)>0.

Primo passaggio.

= >0 lim () = > 0 Consideriamo. Assumiamo che 2 →0.

Secondo passaggio.

Scriviamo la definizione del limite:

• Definizione: | | |() ∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − | < 0.

= Poiché abbiamo assunto andiamo a sostituire 2.

• Sostituzione: | | |() ∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − | <0 2.

Elimino il valore assoluto e quindi devo scrivere: − < () − < 2 2.

Ricordandoci l’obiettivo, isolo f(x) facendo attenzione che quando abbiamo il compreso e sposto un elemento, questo lo devo spostare da entrambe le parti + − < () < 2 2.

E quindi 30< < () < 2 2 0 < () () > 0.