Teoria Analisi matematica 1

Teoria F.A.M.

Successioni

Definizione di successione

Una successione è una funzione definita su un insieme numerabile di indici, solitamente i numeri naturali, i cui valori sono detti termini della successione.

Successione convergente e limite

Una successione si dice convergente se esiste un numero reale che è il limite della successione stessa quando l'indice tende all'infinito.

Successione divergente e limite

Una successione è detta divergente se non converge a un limite finito.

Successione irregolare/indeterminata

Una successione è definita indeterminata se non segue una regola di convergenza o divergenza.

Successione limitata

Una successione è limitata se esistono due numeri reali che fungono da estremo superiore e inferiore per tutti i termini della successione.

Successioni monotone

Le successioni monotone sono quelle che sono o non crescenti o non decrescenti.

Successione geometrica

Una successione geometrica è una successione in cui ciascun termine è il prodotto del precedente per una costante.

Teorema dell'unicità del limite (successioni)

Il teorema dell'unicità del limite afferma che una successione convergente ha un unico limite.

Teorema della permanenza del segno

Il teorema della permanenza del segno stabilisce che una successione che tende a un limite non nullo manterrà il segno dei suoi termini a partire da un certo indice in poi.

Teorema sull'esistenza dei limiti di successioni monotone (di monotonia)

Le successioni monotone non possono essere indeterminate e hanno sempre un limite. Se una successione monotona è illimitata, diverge positivamente o negativamente, cioè: n → ∞, lim = ±∞.

Teorema del confronto (successioni)

Il teorema del confronto permette di determinare il limite di una successione confrontandola con altre di cui si conosce il limite.

Criterio del rapporto (successioni)

Data una successione numerica positiva, possiamo determinare il limite della successione basandoci sul valore di l:

• Se 0 ≤ l < 1, la successione converge.
• Se l > 1, la successione diverge.
• Se l = 1, nulla si può dire.

Criterio della radice (successioni)

Simile al criterio del rapporto, ma applicato al termine ennesimo della successione elevato a una potenza frazionaria:

• Se 0 ≤ l < 1, la successione converge.
• Se l > 1, la successione diverge.
• Se l = 1, nulla si può dire.

Teorema costante di Nepero e

Il teorema sulla costante di Nepero riguarda la base del logaritmo naturale e il suo comportamento nelle successioni.

Serie numeriche

Tipi di termini di serie numeriche

Una serie numerica è l'insieme dei termini di una successione sommati tra loro secondo un certo criterio.

Serie convergenti, divergenti, indeterminate

Le serie possono essere convergenti, divergenti o indeterminate, a seconda del comportamento della successione delle somme parziali.

Condizione necessaria alla convergenza delle serie

Se una serie converge, il limite del termine generale deve tendere a zero.

Teorema sulle serie a termini non negativi

Se tutti i termini di una serie sono non negativi, la serie è convergente se e solo se la successione delle somme parziali è limitata.

Teorema del confronto (serie)

Analogamente alle successioni, il teorema del confronto per le serie permette di confrontare una serie con altre di cui conosciamo il comportamento per determinare la convergenza o divergenza.

Teorema del confronto asintotico (serie)

Il teorema del confronto asintotico stabilisce che se due serie hanno lo stesso comportamento asintotico, allora o convergono entrambe o divergono entrambe.

Criterio del rapporto

Il criterio del rapporto per le serie è un metodo per verificare la convergenza di una serie basandosi sul rapporto tra termini consecutivi.

Criterio della radice

Il criterio della radice esamina la radice ennesima dei termini della serie per determinare la convergenza.

Criterio di Leibniz

Il criterio di Leibniz si applica alle serie alternate, stabilendo condizioni per la loro convergenza.

Teorema della convergenza assoluta

Una serie converge assolutamente se la serie dei valori assoluti dei suoi termini converge.

Teorema sulla serie armonica generalizzata

Il teorema stabilisce le condizioni di convergenza per le serie armoniche generalizzate.

Teorema sulla serie telescopica

Il teorema sulla serie telescopica interessa serie che presentano cancellazioni tra termini successivi.

Teorema sulla serie geometrica

Una serie geometrica è una serie in cui ciascun termine è un multiplo costante del precedente.

Funzioni, Limiti

Maggioranti / minoranti, max / min, estremo superiore / inferiore

Le nozioni di maggioranti e minoranti definiscono i limiti superiori e inferiori di una funzione.

Immagine e controimmagine di una funzione

L'immagine è l'insieme dei valori che una funzione assume, mentre la controimmagine è l'insieme di valori di partenza che portano a un determinato valore dell'immagine.

Funzione iniettiva, suriettiva, biettiva

Una funzione è iniettiva se associa valori distinti a valori distinti, suriettiva se ogni valore dell'insieme d'arrivo è raggiunto, e biettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

Funzione inversa

La funzione inversa "inverte" una funzione, scambiando i suoi valori di partenza e arrivo.

Funzione limitata

Una funzione è limitata se esistono valori superiori e inferiori che la funzione non supera mai.

Funzione periodica

Una funzione periodica è una funzione che si ripete a intervalli regolari.

Funzione simmetrica

Una funzione simmetrica è invariata sotto una specifica trasformazione, come la riflessione.

Funzione monotona

Una funzione monotona è sempre crescente o sempre decrescente.

Intorno

Un intorno di un punto è un intervallo che contiene quel punto.

Punto di accumulazione

Un punto di accumulazione è un punto attorno al quale valori della funzione si possono trovare arbitrariamente vicini.

Asintoti

Gli asintoti sono rette alle quali la funzione si avvicina arbitrariamente ma non raggiunge mai.

Definizione successionale di limite v.1

Il limite di una funzione in un punto può essere definito considerando il comportamento della funzione attorno a quel punto.

Definizione successionale di limite v.2

Un'altra definizione del limite considera il comportamento dei valori della funzione quando si avvicinano al punto.

Definizione topologica di limite

La definizione topologica di limite usa concetti più generali di distanza e intorni.

Teorema sulle definizioni di limite di funzione

Il teorema afferma che le diverse definizioni di limite sono equivalenti tra loro.

Limite da destra / sinistra

Il limite da destra (o da sinistra) considera la funzione avvicinandosi al punto solo da un lato.

Teorema di unicità del limite (funzioni)

Il teorema di unicità del limite stabilisce che il limite, se esiste, è unico.

Teorema della permanenza del segno per i limiti di funzione

Simile al teorema per le successioni, afferma che una funzione che tende a un limite non nullo manterrà il segno a partire da un certo punto.

Teorema del confronto (limiti di funzione)

Il teorema del confronto permette di determinare il limite di una funzione confrontandola con altre di cui conosciamo il limite.

Teorema sul cambio di variabile nei limiti

Il teorema stabilisce che i limiti non cambiano se sostituiamo la variabile con un'altra che tende allo stesso limite.

Teorema di continuità delle funzioni

Il teorema di continuità stabilisce che le funzioni continue mantengono la continuità nei punti in cui sono definite.

Prodotto di composizione di funzioni

Il prodotto di composizione riguarda l'applicazione successiva di più funzioni.

Teorema di continuità della funzione composta

Il teorema afferma che la composizione di funzioni continue è continua.

Teorema sulla strettezza

Il teorema sulla strettezza riguarda la proprietà delle funzioni di essere strettamente crescenti o decrescenti.