Sistemi di equazioni lineare - Appunti e esercizi

Capitolo III

Sistemi di equazioni lineari

1. Generalità

Siano numeri reali (o complessi o elementi di un qualsiasi campo) noti a₁, ..., a_i, ..., a_n, b.

Definizione 1.1.
Un’equazione della forma: a₁x₁ + ... + a_ix_i + ... a_nx_n = b (1) dicesi di primo grado, o brevemente lineare. I numeri a₁, ..., a_i, ..., a_n si dicono rispettivamente coefficienti dell’equazione, le x₁, ..., x_i, ..., x_n si dicono incognite mentre b è detto termine noto.

Definizione 1.2.
Se b = 0, l’equazione lineare si dice omogenea; in caso contrario si dice non omogenea.

Definizione 1.3.
Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è un insieme di m equazioni lineari nelle medesime n incognite, scritto nella forma:

 a₁₁x₁ + ... + a_1ix_i + ... + a_1nx_n = b₁
 ... ... ... ...
 a_i1x₁ + ... + a_iix_i + ... + a_inx_n = b_i (2)
 ... ... ... ...
 a_m1x₁ + ... + a_mix_i + ... + a_mnx_n = b_m

dove a_ij è il coefficiente dell’incognita x_j nell’equazione i-esima. Un sistema lineare può essere scritto, in modo compatto, nella forma: AX = N dove A è una matrice, X ed N sono colonne date da: A = (a_ij); X = (x_j); N = (b_i) per i = 1, 2, ..., n e j = 1, 2, ..., m.

Osservazione: i termini noti della colonna N hanno un solo indice, cioè quello che indica l’equazione cui essi appartengono.

Definizione 1.4.
Una soluzione dell’equazione (1) è una n-upla ordinata che sostituita alla n-upla a₁, ..., a_i, ..., a_n la verifica x₁, ..., x_i, ..., x_n.

Una soluzione del sistema (2) è una n-upla che sostituita alla n-upla a₁, ..., a_i, ..., a_n x₁, ..., x_i, ..., x_n verifica tutte le equazioni del sistema.

Quando un sistema ammette una o più soluzioni si dice possibile; in caso contrario si dice impossibile. Due sistemi aventi le medesime soluzioni si dicono equivalenti.

Se un sistema è possibile ma ha infinite soluzioni si dice indeterminato altrimenti determinato.

Proveremo, ma lo si vuole subito evidenziare, che un sistema determinato ha sempre una ed una sola soluzione.

Vale, a tal proposito, il seguente schema:

• Determinato (una sola soluzione)
• Possibili: sistemi lineari indeterminato (infinite soluzioni)
• Impossibili (nessuna soluzione)

Proviamo ora il seguente Teorema: se un sistema AX = N ha due soluzioni distinte, allora ne ha infinite.

Dimostrazione: siano Y e Z due soluzioni del sistema con Y ≠ Z. Si avrà allora: AY = N ed AZ = N.

Costruiamo la n-upla W data da: W = λY + µZ, con λ + µ = 1 e λ, µ ∈ ℜ. Si ha:

A(W) = A(λY + µZ) = λAY + µAZ = λN + µN = (λ + µ)N = N.

Dunque W è soluzione. Poiché, inoltre, W è composto da infinite n-uple, al variare, ad esempio, di λ e µ con λ + µ = 1, il teorema è provato.

Il problema della risoluzione di un qualunque sistema lineare consiste, dunque, nel trovare delle condizioni a cui devono soddisfare i coefficienti ed i termini noti per sapere in quale situazione il sistema si collochi e poi, nel caso in cui tali soluzioni esistano, di impadronirsi di metodi per determinarle tutte.

2. Risoluzione dei sistemi quadrati di equazioni lineari

Sia dato un sistema di n equazioni lineari in n incognite (i = j = 1, 2, ..., n): AX = N (1).

Definizione 2.1.
Si chiama matrice incompleta o dei coefficienti, associata al sistema (1), la matrice A rappresentata solo dai coefficienti relativi alle incognite x₁, ..., x_i, ..., x_n, cioè: A = (a_ij) per i = j = 1, 2, ..., n.

Definizione 2.2.
Si chiama matrice completa, associata al sistema (1), la matrice B ottenuta da A aggiungendo ad essa la colonna N dei termini noti, cioè:

B := [AN] :=  
a₁₁ ... a_1i ... a_1n b₁
.. . ... ... . .. . .. .. .
a_i1 ... a_ii ... a_in b_i
.. . ... ... . .. . .. .. .
a_n1 ... a_ni ... a_nn b_n
 

Nel caso in questione (m = n) vale il seguente Teorema di Cramer: condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema (1) abbia una ed una sola soluzione è che il determinante della matrice A dei coefficienti sia diverso da zero. Soddisfatta tale condizione, l’unica soluzione del sistema è data da formule di Cramer:

x₁ = ∆₁/∆, ..., x_i = ∆_i/∆, ..., x_n = ∆_n/∆.

dove si è posto ∆ = det A e la quantità ∆_i è il determinante della matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna con la colonna dei termini noti, per i = 1, 2, ..., n.

Osservazione: il teorema di Cramer sopra enunciato è un teorema di esistenza ed unicità; ciò significa che se il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero allora il sistema o è indeterminato, cioè ha infinite soluzioni, oppure è incompatibile, cioè non ha soluzioni.

Definizione 2.3.
Il sistema (1) si dice omogeneo se in esso è N = 0, cioè sono nulli tutti i termini noti.

N.B. Si osservi che se il sistema è omogeneo con det A ≠ 0 allora, per il teorema di Cramer, l’unica soluzione del sistema è la soluzione banale, cioè x₁ = ... = x_i = ... = x_n = 0.

Supposto m = n e det A ≠ 0, è noto che la matrice A ammette l’inversa, cfr. cap. II par. 4, cioè esiste A⁻¹. Moltiplicando, pertanto, a sinistra entrambi i membri dell’equazione AX = N per A⁻¹ si ottiene:

A⁻¹N = A⁻¹(AX) = (A⁻¹A)X.

da cui, per definizione di matrice inversa, si ha:

A⁻¹N = IX, cioè: A⁻¹N = X.

o equivalentemente, in forma non compatta:

  x₁       b₁  
  ...       ...  
  x_i   = A⁻¹   b_i  
  ...       ...  
  x_n       b_n  

Quindi, svolgendo il prodotto righe per colonne, si ottengono le soluzioni del sistema dato.

Tale procedimento di risolubilità, sostanzialmente equivalente all’uso delle formule di Cramer, di un sistema lineare di n equazioni in n incognite è conosciuto con il nome di metodo della matrice inversa. Esso è particolarmente usato negli elaboratori.

Esempio 1

α) × Risolvere il seguente sistema lineare 3 × 3 non omogeneo:

 x + z = 1
 2x + y + 2z = 2
 −x + y = 1

In primo luogo occorre verificare se è det A ≠ 0.

Si ha:

A =  
1 0 1
2 1 2
−1 1 0
  ⇒ det A = 1 ≠ 0.

Per il teorema di Cramer, quindi, l’unica soluzione del sistema è data da:

(x, y, z) = (∆₁/∆, ∆₂/∆, ∆₃/∆).

dove:

∆₁ = 1 0 1 / 2 1 2 / 1 1 1 = 2; ∆₂ = 1 1 1 / 2 2 2 / −1 1 0 = 0; ∆₃ = 1 0 1 / 2 1 2 / −1 1 1 = 2.

Dunque l’unica soluzione del sistema dato è (x, y, z) = (1, 0, 2).

β) × Risolvere il seguente sistema lineare 3 × 3 omogeneo:

 −x + 3y − 2z = 0
 x + z = 0
 −2x + y + 2z = 0

Poiché det A = −1 3 2 / 1 0 1 / −2 1 2 = 1 ≠ 0, essendo il sistema omogeneo, l’unica soluzione è quella banale, cioè (x, y, z) = (0, 0, 0).

Esempio 2

α) × Risolvere il seguente sistema lineare 3 × 3 non omogeneo con il metodo della matrice inversa:

 x + z = 1
 2x + y + 2z = 2
 −x + y = 1

Poiché det A = 1 ≠ 0 esiste A⁻¹. Occorre in primo luogo calcolare l’inversa di A; la matrice dei complementi algebrici è:

(A*) =  
−2 2 3
−1 1 1
−1 0 1
  ⇒ (A*)^T =  
−2 −1 −1
2 1 0
3 1 1
 

da cui:

A⁻¹ = 1/det A (A*)^T = (A*)^T =  
−2 −1 −1
2 1 0
3 1 1
 

Pertanto la soluzione del sistema è data da:

  x       −2 −1 −1       1  
  y   =   2 1 0   ⋅   2  
  z       3 1 1       1  

⇒   x       −2 ⋅ 1 − 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1  
  y   =   2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1  
  z       3 ⋅ 1 − 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1  

Quindi:

  x       1  
  y   =   0  
  z       2  

Dunque la soluzione del sistema dato è (x, y, z) = (1, 0, 2).

Osservazione: si noti che il sistema era già stato risolto con il metodo di Cramer in ESEMPIO 1, α e che la soluzione ora trovata con il metodo della matrice inversa è ovviamente la medesima di quella ottenuta precedentemente.

β) × Risolvere il seguente sistema 3 × 3 lineare non omogeneo con il metodo della matrice inversa:

 2x + 3y + 4z = 53
 3x + 5y − 4z = 2
 4x + 7y − 2z = 31

Poiché det A = 10 ≠ 0 esiste A⁻¹. Risulta:

(A*) =  
−18 10 1
−34 20 2
32 −20 1
  ⇒ (A*)^T =  
−18 −34 32
10 20 −20
1 2 1
 

da cui:

A⁻¹ = 1/10  
−18 −34 32
10 20 −20
1 2 1
  =  
−9/5 −17/5 16/5
1 2 −2
1/10 1/5 1/10
 

Pertanto si ottiene: