Sistemi lineari

Sistemi lineari

Si dice equazione lineare sul campo K nelle incognite x₁, ..., x_n ogni equazione del tipo:

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b

dove a_i, ... ,a_n, b ∈ K

a_i → coefficiente di x_i

b → termine noto

Se b = 0 l'equazione è detta omogenea.

Una soluzione di x è un n-plo (y₁, .., y_n) ∈ Kⁿ tale che a₁y₁ + ... a_ny_n = b.

Esempio

2x + 3y = 2 eq. in ℝ

Una soluzione è (2,0) poiché 2·2 + 3·0 = 2.

(1, -3/2) è un'altra soluzione in ℝ².

5x + 6y - 3z = -3

(0,0,1) soluzione in ℝ³.

Un sistema lineare su K di m equazioni in n incognite x₁, ..., x_n è un sistema del tipo:

Σ: { a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂ ... a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m}

dove a_ij, b_i ∈ K.

Una soluzione di Σ è un n-plo (y₁, ..., y_n) ∈ Kⁿ che soddisfa tutte le equazioni del sistema.

Σ: { x + y = 1 x - y = 0}

L'unica soluzione di Σ è (1/2, 1/2).

x + y = -1 ammette infinite soluzioni.

Per ogni k, infatti trovi uno x per il quale fa capo y = 1 - x.

Sia Σ un sistema lineare come definito precedentemente. Indichiamo con S(Σ) l'insieme delle soluzioni di Σ, ovvero:

S(Σ) = { y ∈ Kⁿ : y è soluzione di Σ }

Se Σ ammette almeno una soluzione, Σ si dice compatibile, se non ne ammette si dice incompatibile. Se Σ è compatibile e ammette un'unica soluzione, Σ si dice determinato; se ne ammette almeno 2 si dice indeterminato. Σ si dice omogeneo se e solo se tutte le equazioni sono omogenee.

Sistemi lineari

Si dice equazione lineare sul campo k nelle incognite x₁,..., x_n ogni equazione del tipo:

a₁ x₁ + a₂ x₂ + ... + a_n x_n = b

dove a₁,..., a_n, b ∈ k

a_i → coefficiente di x_i

b → termine noto

Se b = 0 l'equazione si dice omogenea.

Una soluzione di è un n-plo (y₁,..., y_n) ∈ kⁿ tale che a₁ y₁ + ... + a_n y_n = b.

Esempio

1) 2x + 3y = 2 eq. in ℜ²

Una soluzione è (2,0) poiché 2 · 1 + 3 · 0 = 2.

(4, -²/₃) è un'altra soluzione in ℜ².

2) 5x + 6y - 3z = -3

(0,0,1) soluzione in ℜ³.

Un sistema lineare su k di m equazioni in n incognite x₁,..., x_n è un sistema del tipo:

Σ: {a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁ a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂...a_m1 x₁ + a_m2 x₂ +... + a_mn x_n = b_m

dove a_ij, b_i ∈ k.

Una soluzione di Σ è una n-pla (y₁,..., y_n) ∈ kⁿ che soddisfi tutte le equazioni del sistema.

Σ: {x + y = 1 x - y = 0 ⇒ y = ¹/₂ ⇒ x = y}

x + y = -1 ammette infinite soluzioni.

Per ogni λ istante tranne uno x per cui capita X.

Σ': &Lagger;

L'unica soluzione di Σ è (-¹/₂, -¹/₂).

Sia Σ un sistema lineare come definito precedentemente. Indicheremo con S(Σ) l'insieme delle soluzioni di Σ ovvero S(Σ) = { y ∈ kⁿ : y è soluzione di Σ }.

Se Σ ammette almeno una soluzione, Σ si dice compatibile, se non ne ammette si dice incompatibile. Se Σ è compatibile e ammette un'unica soluzione, Σ si dice determinato; se ne ammette almeno 2 si dice indeterminato. Σ si dice omogeneo se e solo se tutte le equazioni sono omogenee.

Osserva

Se ε è oggetto ➔ o ε ⊆ S(ε) ➔ ε è compatibile.

Forme compatte

{3x₁ + 2x₂ - 3x₃ = 2x₁ - 5x₂ + 2x₃ = -2}

Uso matrici per esprimere sistemi:

Matrice completa di ε

Matrice incompleta di ε

A · X = posso fare prodotto.

Σ : A X = B

Esempio

{3x₁ + 2x₂ - 3x₃ = 2x₁ - 5x₂ + 2x₃ = -2}

a¹ = ^{(3 2 -3)} a² = ^{(-2 -5)} a³ = ^{(-3 2)}

Esempio

{ 3x₁ + 2x₂ - 3x₃ = 2 x₁ = 5x₂ + 2x₃ = -2}

(1, x₁, 1) è una soluzione di questo sistema.

{ (3 1) * x₁ + (2 -5) * x₂ + (-3 1) * x₃ = (2 -2) }

(3 1) + (2 -5) + (-3 1) = (2 -2)

Sono soluzioni del mio sistema.

(2; -2) è una combinazione lineare di (3 1) (9 -5) e (-3 2).

I teorema di compatibilità

Sia Σ : AX = B. Σ è compatibile ⟺ B dipende linearmente dalle colonne di A.

Dim: Σ è compatibile ⟺ esiste ∃ un’unica soluzione di Σ ⟺ ∃ y_j = (y₁, ..., y_n) g₁ + y₁a₁ + y₂a_n = b.

II criterio di compatibilità

Sia Σ : AX = B. Σ è compatibile ⟺ rg (A) = rg (C).

Dim: Σ è compatibile ⟺ B dipende linearmente dalle colonne di A ⟺ rg ({ a₁, ..., a_n}) = rg ({a₁, ..., a_n, b})ⁿ.

Se Σ : AX = B è compatibile, allora rg(C) ≥ rg(A) = rg(C) ⟹ dice l’argo del sistema.

Osserva

• Σ è compatibile ⟺ rg(C) ≤ min{m, n}
• Se non so se il sistema è compatibile ⟹ rg(C) ≤ {rg(A), rg(A+n)}

Esempio

{ x₁ + 3x₃ = 4 x₁ + x₂ - 3x₃ = 0 x₁ + 4x₂ - 3x₃ = 2}

C = | 2 3 | | -1 2 4 | 1 -4 2 1 ^*

ta(A) = 2

rg(C) = 2

M_3,3 = 0

H_3,3 = 0

H_3,4 = det= -4 + 4 + 1 - 6 = -5 ≠ 0

rg(A) ≠ rg(C)

rg(A) = 2

rg(A) = 3

rg(C) = 3

rg(A) = rg(C)

Come risolvere un sistema compatibile?

det(A) ≠ 0

uso Sarrus

rg(A) = 3

rg(C) = 3

ξ {2x + y - z = -1 2x - y + 2z = 0 2y - 4z = 1}

ξ' {2x + y - z = -1 2x - 2x - y + 2z + 2z = 0 - 1 2y - 4z = 1}

{2x + y - z = ; (1)' 2y + 3z = 1; (2)' 2y - 4z = 1; (3)'}

S(ξ) = S(ξ') Se y ∈ S(ξ) → y soddisfa (1) e (3). Y soddisfa (2)-(1). 2y è soluzione di (2)-(1) → y ∈ S(ξ').

Se y ∈ S(ξ') → y ∈ S(ξ).

(3)' + (2)' → (3)'

ξ'' {2x + y - z = -1 -2y + 3z = -1 -z = 0 → z = 0}

S(ξ'') = S(ξ') = S(ξ)

2 = 0

y = 1/2

2x + 1/2 - 0 = 1 → x = 1/4

S(ξ'') = {(1/4, 1/2, 0)} = S(ξ)

C = {21-110-23-100-10

C'' è matrice a gradini.

Teorema

Sia ξ: A = B un sistema lineare. Operando sul sistema lineare le seguenti operazioni:

• Scambio di equazioni (Rij)
• Moltiplicare un'equazione per uno scalare non nullo (Ri(k))
• Sostituzione dell'equazione i-esima con l'equazione i-esima sommata con l'equazione j-esima moltiplicata per uno scalare (Rij(k))

Otteniamo un sistema Σ': A'^*x = B'^* con le stesse soluzioni di Σ, cioè S(Σ) = S(Σ').

Il sistema Σ' si dice equivalente al sistema Σ.

Osserva

La matrice C è ottenuta dalla matrice C applicando le relative operazioni elementari.

Algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan

Sia Σ: Ax = B un sistema di m equazioni in n incognite.

C = (A|B)

1. Ridurre C a gradini.

Se Σ è compatibile ⇔ Σ' è compatibile ⇔ rg(C') = rg(A').

rg(A') = numero pivot di C' contenuti in A'.

rg(C') = numero dei suoi pivot.

rg(A') = rg(C') ⇔ l'ultimo pivot di C' è nella matrice A' (jp ≤ n).

2. Se Σ è compatibile ⇒ C' completamente a gradini.

Se n = ρ.

Se ρ.

Esempi

R₂←(1) ( ⁽¹⁾1⁽¹⁾ ); devo cancellarli.

( 1 0 3 )

( 0 1 -2 ) ⟶ soluzione del sistema.

( X₁ - X₂ + X₃ = 0 2X₁ + X₂ - 2X₃ = 1 )

( ⁽²⁾-1 1 0 -1 )

R₂↔(2) ( -1 0 3 -4 )

Σ è compatibile.

( ^→0^← ) cerco sc. p. ρ = 2.

Resterà matrice identica.

h = 3

(con n incognite 3-2 ⟶ ∞) ∞⁰ soluzioni.

R₃(3) ( 1 -1 1 0 ) ( 0 1 -⁴/₃ ⁴/₃ )

R_4,2(1) ( 1 0 -¹/₃ ⁴/₃ ) ( 0 1 -⁴/₃ ⁴/₃ )

X₁ = ¹/₃ + ¹/₃X₃

X₂ = ¹/₃ + ¹/₃X₃

S(Σ) = { ( ¹/₃ + ¹/₃X₃, ¹/₃ + ¹/₃X₃, X₃ ) : X₃ ∈ ℝ }

Esempi

( X₁ + X₂ - X₃ = ¹/₃ )

2X₁ + 2X₂ - 2X₃ = 3 )

# equazioni = 2

# incognite = 3 = nc = ( ⁽³⁾1⁽²⁾ -1 -⁽¹⁾¹ -¹/₃ ¹/₃ )

( ⁰ -^(3)← 0 )

P_i noti è nella colonna dei termini noti il sistema è incompatibile.

( X₁ + X₃ + 3X₄ = 1 X₂ - X₃ + 4₄ = -1 X₄ + X₂ + 5X₄ = 2

# equazioni = 3

# incognite = c = n = 3

( 1 0 3 1 )

( 0 1 -1 1 )

( ⁽³⁾1 0 5 2⁰ )

R_3,1(-1) ( 1 0 3 1 ) ( 0 1 -1 1 ) ( 0 0 2 1⁽²⁾ )

R_3,2(-1) ( 1 0 3 1 ) ( 0 1 -1 1² ) ( 0 0 2 1⁽¹⁾ ) matrice compatibile.

( x₄ = -1 x₃ - 3 x₄ )

x₂ = 5 + x₃ - 2 x₄

S(ξ) = { ( -x₃ - 3x₄, 5 + x₃ - 2 x₄, x₃, x₄ ) ∣ x₃, x₄ ∈ ℝ }

Il b.e. di soluzione è un vettore di lunghezza pari al numero delle incognite.

Ha ho con ciascuna un qualcosa.

La ho delle combinazioni solo sulle x₁ e x₃ le altre le riporto così.

x₁ - x₃ + 2x₄ = 3

x₁ + x₃ = 4

2x₁ + x₄ = a

x₃ - x₄ = -4

# c.sol. = 4

# incogn. = σ

c.sol = n

S(ξ) = ⎨(x₂ - x₄, x₂, -4 + x₄, x₄), x₁, x₄ ∈ ℝ}

Sistema compatibile

ρ = rg = 2

σ ammette g⋅t-2 soluzioni.

Metodo di Cramer

Il sistema A⍯b se e solo se ℓ S.

Sia ξ : Ax=b è un sistema lineare in n equazioni ed n incognite e rg(A)=n.

⇒ ξ è determinato (l’unica soluzione).

Teorema

Sia ξ : Ax=B come prima (sistema di Cramer). Allora la soluzione è data da:

x₁ = |A₁|/ |A|

x₂ = |A₂|/ |A|

x_n = |A_n|/ |A|

A_i è la matrice ottenuta da A sostituendo la sua colonna i-esima con la colonna dei termini noti.

Dim: ξ è determinato e rg(A)=n ⇒ |A|≠0 ⇒ A è invertibile.

ξ : Ax=B

A^-1(Ax) = A^-1b

(A^-1 A)x = A^-1b

I_n x = A^-1b

x = A^-1B

x_i = 1/|A|∣ΔRⁱxB

Voglio dimostrare:

x₁ = _{< Ai^*, B >}/^|A|1

< A_n^*, B > = < (A_i1, A_i2, ..., A_in), (b₁, ..., b_n) > = b₁A_i1 + b₂A_i2 + ... + b_nA_in = |A_i¹|

I complementi algebrici sono gli stessi che nel calcare in A.

Esempi

S: &system;{x - y = 5 \\ 3x + 4y = 3}

A = (2 -1 \\ 3 4)

det(A) = 8 + 3 + 4 + 0 = 7 (rg(A) = 2)

(→ &geq; Cramer)

y = |2 5| / |3 -3| = -5 / 11

Una coppia di soluzioni.

S(S) = {(23/14, 9/14)}

(x₁ - x₂ + x₃) = 0

det(A) = 2 - 1 - 11 + 2 = 9 ≠ 0 → (rg(A) = 3)

→ (&geq; Cramer)