Sistema a due particelle e distribuzioni di particelle

Sistemi con 2 particelle

2 particelle non identiche (_{m1, m2; ŝ1, ŝ2}1) quindi distinguibili: i.e. l'eq. di Schroedinger dipendente dal tempo   (ℏ²/2m)₁∇² - ϕ Continuo a leggere sulla probabilità di trovare la particella 1 in: dV₁ = dx₁dy₁dz₁ e la particella 2 in: dV₂ = dx₂dy₂dz₂ al tempo t.

Separazione delle variabili:   ψ(x₁, ⊂R₂;t) = ψ(x₁) ψ(x₂) (t)(t) = exp(-iĤt/ℏ) → (R₁, R₂) = (R₁) × (R₂) → particelle non interagenti → particelle non interagenti.

Combinazione delle soluzioni: → (R₁, R₂) = (R₁), (R₂) = (R₁) × (R₂) particella 1 nello stata con energia comb. particella 2 con energia E₂.

Particelle identiche e indistinguibilità

2 particelle identiche (es. 2 elettroni, _ŝ1=ŝ2=1/2 potenziali identiche _{V1(x1), x2)= V(R2, R1))} -(o) Particelle quantistiche identiche sono indistinguibili.

Particelle interagenti: Indistinguibilità: simmetria di scambio di tutte particelle operatore di permutazione P_o12 permutazione P[(R₁, R₂), - ψ (R₁, R₁)] = ψ(R₁, R₂)] = ψ(R ) I_oP12 Identitŕ?

Particelle identiche [{} H, P {*sub} = 0 Simmetria di scambio: le autovalori.

Sistemi con 2 particelle con identità

Sistemi con 2 particelle 2 particelle con identità (non distinguibili): m₁ = m₂; s₁ = s₂ H ψ = E ψ ψ dipende dal tempo: Scattering Continuo a usare il pinch problem diventa ∫_X ²⁄₂ ψ dV = d1.

Separazione delle variabili: ψ = (ic1)∫(t) = e^-i∠∗(t) ⇒ ψ(R1, R2) = U₁(R1) U₂(R2) Prodotto di funzioni d'onde di 2 particelle.

2 particelle identiche (∈ℝ, 2 elettroni, s1 = s2 = 1/2) ∫0 ps_ozon1 = p_s2 = potenziale coulombiano Le particelle quantistiche identiche sono indistinguibili.

Particelle intercomplesse Quantumicamento: non ci sono traiettorie Coordinate probabilità che accredentino Indistinguibilità: simmetria scambio tra due particelle.

Particelle identiche ψ _{ψ(R1,t),ψ(R2,t)} = ψ _{ψ(R2,t),ψ(R1,t)} .. identità 2 casi possibili: = autovalori +1, - 1 =  caso simmetrico  =  caso antisimmetrico   densità di probabilità comunque simmetrica, non cambia.

Funzione d'onda di N particelle

Come scrivere una funzione d'onda di N particelle non interagenti Ψ(r₁, σ₁ ......) se non fa caso simmetrico e antisimmetrico?

Stat di singola particella = a, b non è la buona appena non padduppa la simmetria, non la barre e puoi distinguere gli elettroni elettrone 1 nello stato a, elettrone 2 nello stato b, elettrone 1 nello stato b, elettrone 2 nello stato a.

2 particelle, 1 nello stato a e 2 nello stato b ma non so quale è in x₁ e x₂ determinata per normalizzazione Fermioni.

2 fermioni nello stesso stato a o b: insieme di numero quantici.

Principio di esclusione di Pauli: 2 fermioni non possono occupare lo stesso stato quantistico (Avere lo stesso insieme di numeri quantici).

Stati di singola particella (Ψ_α(r)) normalizzati → Sì, può dimostrare con teoria di campo:

• I bosoni  spin intero (S è intero . 0, 1, 2, etc...) S è seminteto E con prob. 1/2.
• Fermioni  spin semintero (S è semintero: 1/2, 3/2, 5/2, ...) (per(i) oppure E con prob 1/2 (per(H)) protoni sono bosoni elettroni sono fermioni (s = 1/2) anche protoni e neutrini.

Normalizzazione e principio di Pauli

Normalizzazione: (Casomaltario) A = lψ_α norma dell'autostato di ˆh_α= _αψ_α(r) h_α,t autostato of ˆh_β soluteor true.

2 particelle  meccanico: k/∈t Energetico: E₀ terminata autostato di ilin con energia E_α En consincerà b Non può dire che quella è lo stato in a, C²a e 2 probabilità = 1/2 per lo stato a e a bosoni - A = 2! fermioni - A = 0 principio di Pauli: bosoni: "aggrovigiano" fermioni: "si compongono".

Interazione tra particelle identiche quantistiche

Interazione tra particelle identiche quantistiche (interazione) Se si calcola: caso fermioni (particelle distinguibili): <(x - x₂)²> = <x²> - <x₂> <x₁>² > 2 <x₂> > <x₁> (al valore di aspettazione di singola particella) simmetrica di scambio per due particelle x=2 simmetria bosoni fermioni.

<(x-x₁)²> = <<(x-x₂)²> <x>_ab = ∫dx × Ψ_a (x)Ψ_b (x) → valore di aspettazione misto su 2 stati L'integrale di overlap (Sovrapposizione) questi effetti quantistici: non appaiono solo se le due funzioni si sovrappongono Se Ψ_a Ψ_b = 0 → overlap trascurabile.

Funzione d'onda stato fondamentale

Funzione d'onda stato fondamentale 2 elettroni nell'atomo di Elio (esempio S5 Secayu) L=0, m=1, e₁=0, m₁=0 | (z=2) assumiamo no interazione tra 2 elettroni Ψ(x₁, x₂) = Ψ_1s(x₁) Ψ_1s(x₂) Ψ per stato a singola particella condizione iniziale assumendo non decadde.

Per costruire uno stato a 2 elettroni devo tenere conto del principio di Pauli funzione d'onda Ψ(x₁, x₂) = é simmetrica Risoluzione: 1/√2 ( |↑↓⟩ - |↓↑⟩ ) Elettrone 1: m_s = +1/2 Elettrone 2: m_s = -1/2 Nota sull’autostato di S_z = S_1z + S_2z Regole di addizione dei momenti angolari Stato descritto in termini di m_s1, m_s2.

• S=1 stato.
• S=0 stato (*antisimmetrica*).

Simmmetrico: parte spaziale Combinazione antisimmmetrica: parte temporale Elettrone 1 con spin Spin ↑ (m_s = 1/2) Spin ↓ (m_s = 1/2) E movimiento Nota: autostato Autovalore Assunzioni Stato di singoletto Prima Entangled ½ ( |↑↓⟩ - |↓↑⟩ ) Stat finemente sintoniti (combinazione di più stati) Misure di S12 → collasso (istantaneo) della funzione d'onda Dopo la misura, se trovato S_1z = +½ → stato |↑⟩ prop.

Distribuzioni statistiche

Distribuzioni statistiche

• N particelle identiche non interagenti.

(_N>>1) Sistema: indichiamo il volume, contatore, N costante, energia totale. E è costante. E - energia di ogni particella _gi degenerazione associata (# stati con energia E_i) Insieme di numeri quantici.

Elettroni con spin 1/2 (se trascuriamo l’interazione spin-orbita) degenerazione del livello → _gi=2 → già calcolato considerando le proprie spaziale e 2 elettroni per ogni orbitale (soddisfando il principio di Pauli) energie quantizzate energie non quantizzate f₂ } valori di energia di singola particella e: e:e: E₁ E₂ E₃ EE₂ E₁ E₃ e:e: E₃ E₂ E₁ E+E₂-EE₁ E₂ E₃ E.

Distribuzione statistica: m_i(E_i)=n_j Come le N particelle si partizioniscono sulle varie energie di singola particella Vincoli: ∑ _i m_i = N (costante) ∑ _i E_i m_i = E (costante).

Microstato: scelta particolare di come distribuire le N particelle nei vari stati di energia di singola particella Macrostrato: scelta solo il numero di occupazione m_i per ogni energia E_i; (_mi) W({m_i:}) = # di microstati che realizzano il microstato {m_i}).

Ipotesi di Boltzmann tutti i microstati che rispettano i vincoli del sistema sono equiprobabili → le sistema si porta alla distribuzione di equilibrio (termico) e dati allegg. tecnico da i w({m(z),i_f:}) è massimo massimizzando dalle fin perciò si l'entrapo, compless.nualmente (numero maggiore di microcontati v) con i vincoli dati) metodo della distribuzione più probabile.

Per m≠> Le distribuzioni divertente da quella più probabile diventano molto meno probabili (si vede solo la quotazione più probabile).

Formula di Boltzmann: S({m_i,t:}) = _Kb log W({m_i,t:}) entropia associata ad un macrostrato {m_i:} ← costante di Boltzmann Trovare (ni) più probabile massimizzando W (Ni mi Ei).

Vincoli nei tre casi

Con vincoli nei 3 casi:

• D (distinguibili).
• B (bosoni).
• F (fermioni).
• N = 6 particelle con livelli di energia ed energia totale E = 5ε_o.
• (Non considero energia di punto zero).
• ε_i=(i-1)ε_o.
• I = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• G₁ = 1.
• G₂ = 1.
• G₃ = 2.
• G₄ = 1.
• G₅ = 3.
• G₆ = 4 → degenerazioni.

Sistema 6 serie e componenti modo rotato 6 diversi possibili macrostati che soddisfano il vincolo dell'energia 1^o passo: calcolo di W (Ni mi Ei) → ottenuto da argomenti di calcolo combinatorio.

W_B(Ni mi Ei) = N! / ∏_i(ni + gi - 1) W_F(Ni mi Ei) = ∏_i(mi - ni - 1) W_E(Ni mi Ei) = ∏_i(8i - 1) Vr (Ni mi Ei) = [# di modi di distribuire nei livelli di energia, con numeri di occupazione ni (Σimi=Ni)] * [# di modi di distribuire ni oggetti in gi stati] 1 per particelle indistinguibili → per fermioni: principio di antisimmetria di Pauli.

2^o Problema di massimo vincolato → moltiplicatori di Lagrange Per massimizzare P (W (Ni mi Ei)) → condition Lagrange det countable ln W (control) → Δs = Δp controlla nel giorno del W derivato funzionale.

Per massimizzare _{mi} ln [ w/ ( _{l , m ; i} ) ] soggetto al vincolo: ∑ _{i , mo m} ∈ Etracce {mi} percui ∑ _{n ; m} N _n ) - ε } = 0 formula dei moltiplicatori di Lagrange come entrambedi Lagrange (Qui cancellavi margine delle derivate secondarie).

X / Y percui P (x,y) è massima soggetta al vincolo g(x,y) = C curve di livello f ( x , y ) = cost massimo vincolato → curve di livello ai P e Σ sono dividendo tra loro gradienti di f e di g sono ortogonali alle curve di livello e quindi paralleli tra loro ∇ϕ-λ ( ∇ g )=0 formula di Stirling per calcol.

Distribuzioni di equilibrio

Alla fine dei calcoli si ottiene: m _∞ = qc :esp ( _{x i + β ε i )} m _∞ = qc Formula di Lagrange per calcolisti B g _∞ =esp ( _{x i + β ε i ) +1} E m _∞ =esp ( _{x i + β ε i ) -1}.

Nonostante le formule di W sono diverse, le distribuzioni di equilibrio sono Simile m(E) g(E) tendenza a occupare gli stati a minima energia E = Dm = g ≠ 1 n(E) g(E) tendenza maggiore a occupare lo stato fondamentale Boltzmann In tutti i casi per β(E) > 1 Stesso comportamento ad alte energie.

In pratica, quando serve utilizzare la distribuzione quantistica? quando l'integrale si adatta ≠ 1 (Dim. pratica) quando xdx = g principio di Heisenberg equipartizione dell'energia Confronto / dx conserva.

Esempio 10.2 V(V adatto dei gas perfetti)(2) elettroni di conduzione in argento 1 elettrone di conduzione per atomo metallo e gas di elettroni liberi (elettroni di conduzione).