Serie: Sia S la somma della serie sum_{n=1}^(+infty)3^(n+2)/4^(n+1). Calcolare 4S

Sia S la somma della serie

\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n+2}{4n+1}.\]

Calcolare 4S.

Soluzione. Si ha

\[S=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n+2}{4n+1}=\frac{9}{4}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}=\]

\[=\frac{9}{4}\left(\frac{1}{1-\frac{3}{4}}-1\right)=\frac{27}{4}.\]

Quindi 4S=27.