Integrali: Sia [math] {I}=\int_{{{D}}}{\left({\left|{x}\right|}+{x}{y}^{2}+{x}^{2}{y}\right)}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.} [/math], calcolare 2I

Calcolo di 2I

Sia

I = integral_D (|x| + xy² + x²y) dxdy,

dove D = {(x, y) in R²: x² + y² less than or equal to 9}. Calcolare 2I.

Soluzione

Anzitutto per simmetria si ha

integral_D (|x| + xy² + x²y) dxdy = 4 integral_D⁺⁺ x dxdy,

essendo D⁺⁺ = {(x, y) in D: x, y greater than or equal to 0}. Passando a coordinate polari piane D⁺⁺ viene trasformato nell'insieme S = {(rho, vartheta) in [0, +infinity) x [0, 2pi): 0 less than or equal to rho less than or equal to 3, 0 less than or equal to vartheta less than or equal to pi/2}. Dunque si ha

integral_D (|x| + xy² + x²y) dxdy = 4 integral_S rho² cos vartheta dvartheta drho = 4 integral₀³ (integral₀^pi/2 rho² cos vartheta dvartheta) drho =

= 4 integral₀³ rho² (sin vartheta)|₀^pi/2 drho = 36.