Trigonometria - Seni e Coseni

In questo appunto vengono descritte e approfondite alcune funzioni trigonometriche come il seno, la sinusoide, il coseno, la cosinusoide e l'identità fondamentale della trigonometria.
Per comprendere meglio tali concetti viene prima proposto un ripasso di alcuni elementi come l'angolo, il grado, il radiante e la circonferenza goniometrica.

La trigonometria: gli angoli e la loro misura

Si può immaginare come a seconda di come si posizionano le due semirette si può avere un angolo che comprende una porzione maggiore o minore di piano.
La misura di tale porzione di piano viene definita ampiezza dell’angolo.

L’ampiezza di un angolo si misura in:

• gradi, primi e secondi in un sistema Sessagesimale (60° gradi) che fu inventato dagli Assiri-Babilonesi.
• radianti

Consideriamo un angolo di cui vogliamo misurare l’ampiezza, consideriamo ora una circonferenza con centro nel vertice dell’angolo; possiamo immaginare come la misura dell’arco dipende dalla circonferenza che considero (più grande è la circonferenza e più sarà lungo l’arco sotteso dall’angolo considerato).
Per rendere la misura dell’angolo indipendente dalla circonferenza, dividiamo l'arco per il raggio e in questo modo si perde la dimensionalità. Il risultato di questa operazione ci dice praticamente quante volte l’arco contiene il raggio.
Rapportati al raggio, gli archi che sottendono lo stesso angolo sono uguali e quindi comparabili.
Il radiante è quindi definito come l’angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza. É una misura adimensionale relativa alla circonferenza.
Un angolo di 360° in radianti è uguale a

La formula generale per passare da radianti ai gradi e viceversa è:

La trigonometria: coseno e seno

La funzione coseno ci permette quindi di trovare il valore dell’ordinata del punto che si sta considerando sulla circonferenza goniometrica; per calcolare il valore del coseno in alcuni punti speciali può essere utile disegnare una circonferenza goniometrica, individuare la posizione del punto per cui si vuole calcolare il coseno e analizzare il valore che potrebbe avere la sua ordinata.

In seguito riportiamo i valori del coseno di alcuni angoli:
Per

Per

Per

Per

Per

Partendo dal presupposto che

Inoltre, il coseno è una funzione periodica con periodo = T che corrisponde a

In generale la periodicità può essere espressa dicendo che

o meglio:

Questa equazione definisce la periodicità della funzione coseno.
K è una costante ed è un numero intero:

Se K è positivo il giro è antiorario, se invece è negativo il giro è orario.

La cosinusoide è la curva che determina il valore del coseno in funzione dell’angolo α.
Il coseno assume valori decrescenti da 0 a π e valori crescenti tra π e 0 (o 2π)
Il coseno è positivo da 0 a 90° (π/2), negativo da 90° a 270° (π/2 - 3π/2) e di nuovo positivo da 270° a 360° (3π/2 - 2π).

Il seno o sin⁡(α), in italiano sen⁡(α)), è la misura del segmento BH rapportato alla misura del raggio:

Valgono i discorsi fatti fin’ora per il coseno, ma rapportati al segmento BH invece che al segmento OH.

Per

Per

Per

Per

Per

Partendo dal presupposto che

Come per il coseno, inoltre, anche il seno è una funzione periodica con periodo = T che corrisponde a

In generale diciamo che

o meglio:

La sinusoide è la curva che determina il valore del seno in funzione dell’angolo α.
Il seno assume valori crescenti 0 a π/2, valori decrescenti tra π/2 e 3π/2, e di nuovo valori crescenti tra 3π/2 e 0 (o 2π).
Il seno è positivo da 0 a π, e negativo π a 0.

Identità fondamentale della trigonometria

L’identità sopra riportata deriva dal fatto che si sta considerando un punto sulla circonferenza goniometrica e dato che tale circonferenza ha la caratteristica di avere il raggio unitario, si ha che la distanza di tale punto dall’origine degli assi deve essere 1. Se si utilizza la formula per la distanza tra due punti si può facilmente dimostrare l’identità fondamentale della trigonometria.

Da tale relazione si deriva che:

E quindi:

Ricordiamoci inoltre che

Seno e coseno assumo sempre valori Per ulteriori approfondimenti sulla distanza tra due punti vedi anche qua