Principio di induzione

Induzione di principio

Presentiamo ora un potente metodo dimostrativo, detto dimostrazione per induzione.

Il principio di induzione è un metodo per dimostrare proprietà che dipendono da un numero naturale n.

Enunciato

Rm Wosia indefinita proprietà in una Aensottoinsieme suounXp le ipotesi.

Se seguenti valgono:

• P EW è Base1 induttiva.
• Se nono verasei KnewPcmvera.
• Supposta2 mimo è anche PintiVero ipotesi induttiva th timePcm è allora vera n.

Dimostrazione

Definiamo Mena pm e m verificanonnoIdea A lase perchéPI relazioneil è verofalsaè per INon ImoW.

Poiché a e allora minaIn Aparticolare ema Pdi verificaadefinizioneper e moma no nonizb.ie veroa I1 7Mo no che dimostrare perveresupponi.

Ma la tesiImo le PPPer del verificaipotesi Ila noPinot è perno è veravera i pla 2per verificaipotesi no ti PinoPP è noti mavera è Pcm vera è Pino è secondoassurdo perché vero un Pla Adirelazione verifica contraddizionema non1mo no pil in.

Consideriamo1 cuicoso verificanonmo iPPoiché defEverifica 1maemo non AffarIl faè perché che eassurdo moun il caso p.

Consideriamo verificain2 cui ho 1l'ipotesi del PIApplichiamo 2P pverificaverificama i moma è perMe definizioneAssurdo che percheun pA può verificareema non tutto è.

Pertanto ciò che allievo ossutocontraddizionidelleVero aporta 0A dDi il principioconseguita e induzione è Vero falsalaA è relazione è vuoto prendi pverificase no mmex.

Applicazione del principio

Dimostriamo il di leinduzioneprincipio usando proprietà seguentimE K1 211 tn netot3 McmathKai.

Se 1 1 eron 2Cle Rm è veraassumo.

Se esentim è pontidimostrino che veron K veraminati È È kk tinti IntiM ti 2mt iFÈ K til nnIntillanti EntriMn è timeponti è vera.