Matematica - Studio di funzione

Studio di funzione

Il dominio

Premessa

Dati due insiemi X e Y, si dice funzione da X in Y una relazione che associa ad ogni elemento dell'insieme X, detto dominio, un unico elemento di Y, detto Codominio.

Nell'identificazione del dominio, bisogna fare attenzione a:

1. Denominatori ⇒ se ce ne sono, devono essere posti ≠ 0. Es: y = ^x/_x-4. D: {x ∈ ℝ / x ≠ ±2}
2. Radici di indice pari ⇒ i loro argomenti vanno posti ≥ 0. Es: y = ⁴√(3-x). D: {x ∈ ℝ / x ≤ 3}
3. Logaritmi ⇒ loro argomenti vanno posti > 0. Es: y = log₉(7-3x). D: {x ∈ ℝ / x h) {g(x)}^g(x) ⇒ La funzione g(x) > 0. Es: y = (x-1)^sinx. D: {x ∈ ℝ / x ≥ 1}

Es: y = ^x²+1/_x+2x

x²+2x ≠ 0 ⇒ (x+1) ≠ 0 ⇒ x ≠ -1

x²+1 > 0 ∀ x ∈ ℝ

D = {x ∈ ℝ / x ≠ -1}

Es: y = ^{(log₂ (x²+9))}/_{e² (1-sinx-1)}

(1-sinx-1) ≠ 0 ⇒ 2sinx-1 ≠ 0 ⇒ x ≠ π/6 + 2kπ

x²+9 > 0 ∀ x ∈ ℝ

D = {x ∈ ℝ, x ≠ π/6 + kπ}

Es: y = log₂ (log₂ x) e(-sin(2/x))

x > 0 (arg. log. interno)

log_c x ² ⇒ 0

Studio di funzione

Il dominio

Premessa

Data due insiemi X e Y, si dice funzione da X in Y una relazione che associa ad ogni elemento dell'insieme X, detto dominio, un unico elemento di Y, detto Codominio.

y = x²

Dom: [0,2] → [0,4] Cod

y = x²

Dom: [0,1] → [0,1] Cod

Nell'identificazione del dominio, bisogna fare attenzione a:

1. Denominatori ⇒ Se ce ne sono, devono essere posti ≠ 0. Es: y = ^x/_x-4 ⇒ D = {x ∈ ℝ / x ≠ ±2}
2. Radici di indice pari ⇒ I loro argomenti vanno posti ≥ 0. Es: y = √(3-x) ⇒ D = {x ∈ ℝ / x ≤ 3}
3. Logaritmi ⇒ I loro argomenti vanno posti > 0. Es: y = log_a(3-x) ⇒ D = {x ∈ ℝ / x f^g(x) ⇒ La funzione f(x) > 0. Es: y = (x-1)^-sinx ⇒ D = {x ∈ ℝ / x > 1}

Es: y = √(x² -1) / (x + 2x)

x² - x ≠ 0 ⇒ (x + 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ -1 ⇒ x ²-1 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1

D = {x ∈ ℝ / x ≥ 1}

Es: y = (log₂(x² + 9)) / e^x(sinx - 1)

^(1-sinx-1) ≠ 0 ⇒ sinx ≠ 1

2sinx - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ^π/₆ + 2kπ

D = {x ∈ ℝ/x ≠ π/6 + kπ} ∧ x ≠ π/6 + kπ

Es: y = log₂(log₂(x)) e^-sin(x)

x > 0 (argom. log. interno)

log₂x > 0 ⇒ 0

D = {x ∈ ℝ / 0

Simmetrie e periodicità: funz. pari, dispari, periodiche

• Una funzione f(x) si dice pari se per ogni x appartenente a D, f(-x) = f(x) → Una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate
• Una funzione g(x) si dice dispari se per ogni x appartenente a D, g(-x) = -g(x) → Una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine

Recap

g(x) g(x) ⇒ Pari, asse simmetrico rispetto a Y

g(x) ⇒ Dispari grafico simmetrico rispetto all'origine

Altri ⇒ Né pari né dispari grafico non simmetrico rispetto a Y o all'origine

Oss. 1: Analizzare le simmetrie (pari/dispari) può essere utile per controllare la coerenza nei passaggi successivi.

Oss. 2: Cerco simmetrie (par/disr) solo se il D è simmetrico rispetto a O

es: O = {x ∈ ℝ / x ± 2}

O = {x ∈ ℝ / x - 1

g(x) si dice periodica di periodo T (con T reale positivo) se vale che g(x + T) = g(x)

Il grafico di una funzione periodica si ripete uguale ogni periodo

Oss. 1: Se g(x) è periodica di T allora è anche perioda di k·T (k - 1) ⋀ k ∈ ℕ

Oss. 2: Se scopro che g(x) è periodica, posso limitare lo studio ad un solo periodo

Funzioni pari, dispari, periodiche

Es 1

Si dica se g(x) = sin x + ¹/_{sin x} è pari, dispari e/o periodica

Pari/dispari

g(-x) = sin(-x) + ¹/_sin(-x) = -sin x - ¹/_{sin x} = -g(x)

La f(x) è dispari: grafico simmetrico rispetto all'origine

Periodica

g(x + 2π) = sin(x + 2π) + ¹/_{sin(x + 2π)} = sin x + ¹/_{sin x} = g(x)

g(x) è periodica di 2π

Sapere che g(-x) = -g(x) dice che l'intervallo di interesse è solo π

Es 2

Si dica per quali valori dei parametri reali a e b la funzione f(x) = ae^x + bx è una funzione pari tale che f(0