Matematica

Matematica 27/10/2022

Logica matematica

Lo scopo della logica matematica è quello di introdurre nozioni di logica e terminologia per una corretta interpretazione delle dimostrazioni. Una proposizione è una frase di senso compiuto, è tutto ciò che si può definire vero o falso. In logica matematica è necessario possedere delle informazioni che ci permettano di affermare con certezza che una proposizione sia vera o falsa, in quanto non lo può essere contemporaneamente. Quando però la verità o la falsità di una proposizione dipende da qualcosa, allora si parla di predicato, ovvero una frase contenente una o più variabili libere.

I quantificatori

Per unire le proposizioni si usano diversi simboli, tra cui i quantificatori, in quanto in matematica non basta dire che l’equazione ha una soluzione, bensì bisogna possedere degli elementi che ci permettano di dare dei precisi risultati. I quantificatori sono 3:

• Quantificatore universale: per ogni ∀
• Quantificatore esistenziale: esiste ∃
• Quantificatore unico: esiste uno e uno solo ∃!

Un modo per trasformare predicati in proposizioni è l’uso dei quantificatori. Non bisogna però mai invertire l’ordine dei quantificatori in una proposizione, in quanto il senso ne verrebbe alterato.

I connettivi logici

Le proposizioni possono essere correlate tra di loro attraverso dei connettivi logici che trasformano le proposizioni in altre ancora.

• Non (negazione): trasforma la proposizione nella proposizione non, ovvero il contrario della prima. Attenzione a doppia negazione;
• E (congiunzione) ∧;
• O (disgiunzione) può essere inclusiva o esclusiva ∨;
• Implicazione ⇒: tale connettivo crea una proposizione che indica che la prima proposizione implica la seconda (implica; se, allora). Può anche significare che è condizione sufficiente per e che è condizione necessaria di. Equivale anche a non ⇒ non, ovvero se è falsa, allora anche lo sarà;
• Doppia implicazione ⇔: equivale a dire che implica e che implica;

Quando si negano delle proposizioni contenenti connettivi, il senso cambia:

• Non( e ) = non( ) o non( )
• Non( o ) = non( ) e non( )

Negare un’implicazione, vale a dire che è negazione di ( e non( )).

Quando si negano proposizioni contenenti quantificatori

• Non(∀) equivale a la negazione del diventa “c’è almeno un x per il quale (x) è falsa”. Per negare che una proposizione sia verificata universalmente, bisogna esibire un esempio in cui essa assume significato opposto, ovvero un controesempio;
• Non(∃) equivale a ∀.

I teoremi

Tutto ciò viene utilizzato nei teoremi. Un teorema è costituito da un enunciato e da una dimostrazione. L’enunciato ha un punto di partenza detto ipotesi ( ) e una tesi ( ), che rappresenta l’obiettivo da dimostrare. Si sintetizza con ⇒. Ciò avviene attraverso la dimostrazione, ovvero il procedimento logico per dedurre la tesi dall’ipotesi. Esiste però anche la dimostrazione per assurdo, ovvero si parte dall’“assurdità della tesi”, cioè si comincia da essa: si parte dal negare la tesi e, se si arriva a negare l’ipotesi, allora, poiché non( )⇒non( ) equivale a ⇒, di conseguenza la tesi è vera.

Simboli

Leggere A ⊆ B, significa che ogni elemento di A è contenuto in B. A è dunque un sottoinsieme di B.

Leggere A ⊂ B, significa che ci sono elementi di A che sono anche elementi di B, ma ci sono elementi di B che non interessano. A è dunque un sottoinsieme proprio di B.

Leggere A ∩ B, vuol dire intersezione, ovvero si prendono elementi che stanno sia in A sia in B.

Leggere A ∪ B, vuol dire unione, ovvero si prendono elementi che stanno solo in A, solo in B e sia in A sia in B.

Indica lo spazio ambiente: ∖

Leggere A ∖ B, vuol dire differenza. Dunque A indica tutto ciò che di A non è compreso nello spazio ambiente.

Con A^c si intendono i complementari di A, perciò con (A ∩ B)^c si intende l’unione dei complementari di A e B (A^c ∪ B^c). Con (A ∪ B)^c, invece, si intende l’intersezione dei loro complementari.

Gli insiemi

L’insieme dei numeri naturali, in cui vi sono le due operazioni di somma e prodotto, si indica con la lettera ℕ (che solitamente parte da 0) e possiede molte proprietà. Un esempio, è la somma dei primi n dispari che dà sempre come risultato n². In ℕ vale il principio di induzione: prendiamo (n) e, se si sa che (1) è vera e se (n) è vera allora (n+1) è anch’essa vera, allora (n) è vera ∀n∈ℕ.

Esempio: (n)= 1+3+5+…+2n-1 = n² ∀n∈ℕ

1. n=1 (1)=1=1 ok
2. (n) vera, voglio provare che (n+1) è vera 1+3+5+…+2n-1+2n+1= n² + 2n + 1

Poiché 1+3+5+…+2n-1 è vera e n²+2n+1 è uguale a (n+1)², allora posso affermare che per I ⇒ (n) è vera ∀n∈ℕ.

Esempio: n!=n(n-1)(n-2)… n^k= n * n * n*…n (per n volte) e vogliamo provare che n!≤n^k

1. n=1 1!=1=1 ok
2. Sia (n) vera per un certo n, verifico che (n+1) è vera (n+1)!≤(n+1)^k+1 (n+1)!= (n+1)n(n-1)…2*1 = (n-1)n!≤(n+1)n^k<(n+1)(n+1)^k= (n+1)^k+1 I ⇒ n!≤n^k è vera ∀n∈ℤ.

Insieme ℤ: insieme dei numeri relativi, quindi anche con presenza di numeri negativi.

Insieme ℚ: m/n con m∈ℤ, con n∈ℤ, n≠0

Insieme ℝ: insieme dei numeri razionali e irrazionali ed eredita tutte le proprietà di ℚ. Per questo insieme valgono la proprietà commutativa (∀a,b∈ℝ a+b=b+a), associativa elemento neutro 0, elemento opposto “-a”; valgono le proprietà ∃ ∃((a+b)+c=a+(b+c)), commutativa e associativa per il prodotto, elemento neutro detto identità che è 1, elemento opposto detto reciproco “a^-1” oppure “1/a” valgono le proprietà ∀a∈ℝ≠0; riflessiva (∀a∈ℝ a≤a), transitiva (∀a,b,c∈ℝ a≤b e b≤c e implica che a≤c), dicotomia (∀a,b∈ℝ a≤b o b≤a) e antisimmetrica (∀a,b∈ℝ a≤b e b⊆a implica che a=b). ℝ è un campo totalmente ordinato. Vale la proprietà distributiva (∀a,b,c∈ℝ (a+b)c= ac +bc), a≤b allora a+c ≤b +c. Ma per il prodotto non è lo stesso, infatti è ∀a,b∈ℝ ∀c∈ℝ a≤b allora ac ≤ bc. ∀a,b∈ℝ ∀c≥0 Altre proprietà sono a≤0 ⇔ -a≥0 e la legge di annullamento del prodotto (∀a,b∈ℝ ∀a∈ℝ ab=0 ⇒ a=0 o b=0). Viene anche introdotto il valore assoluto: |a|= a se a≥0, -a se a<0. (es. |2|=2, |-2|=2) ∀a∈ℝ. Dunque, si ottiene sempre un numero positivo. Il valore assoluto è uguale a 0 ciò che vi è dentro il valore assoluto è 0. Il valore assoluto di un prodotto è uguale al prodotto dei due valori assoluti |ab| = |a| * |b|. Ma è diverso per la somma, in quanto esiste la disuguaglianza triangolare, cioè |a+b| ≤ |a|+|b| con ∀a,b∈ℝ.

Esiste la proprietà di Archimede

Presi due qualsiasi elementi di ℝ (∀a,b∈ℝ) esiste sempre un numero naturale tale che a, moltiplicato per esso, sia maggiore di b (∃n∈ℕ : na>b). Se a=1, allora n>b affinché tale proprietà valga. ℝ, La presenza dell’insieme ℚ rende l’insieme ℝ completo. Da ciò deriva il teorema della completezza: tra due numeri reali esistono infiniti numeri irrazionali. Questo dunque rende ℝ un campo ordinato e completo, come precedentemente detto. Quindi l’insieme dei numeri reali può essere associato a una retta nel piano, in quanto a ogni numero naturale viene associato un punto sulla retta e viceversa.

Gli intervalli

Esistono dei sottoinsiemi di ℝ detti intervalli e possono essere di due tipi:

• Limitati: [a,b] = a≤x≤b ∀a,b∈ℝ ∃x∈ℝ: [a,b[, ]a,b], ]a,b[. Quando vi è (a,b) si intende un intervallo generico. L’intervallo limitato è sempre rappresentato da un segmento, con estremi inclusi o meno;
• Illimitati: e sono [a,+∞[, ]a,+∞[, ]-∞,b], ]-∞,b[, ]-∞,+∞[. ∀a,b∈ℝ

Il concetto di aggettivo “limitato” non si riferisce al numero di elementi, ma riguarda gli estremi dell’intervallo (non si può andare sotto a e non si può andare sopra b).

X⊆ℝ, un numero k∈ℝ si definisce maggiorante per X se k≥x ovvero un numero k ∀x∈X, più grande di qualsiasi altro numero dell’insieme (es. X=[-2,1[ M=insieme dei maggioranti di X = x≥1 ∃). Invece, si definisce minorante un numero k più piccolo di qualsiasi altro numero dell’insieme. Grazie a maggioranti e minoranti si può dare una definizione di intervallo limitato: X⊆ℝ si dice limitato superiormente se X possiede maggioranti (∃k∈ℝ: k≥x, ∀x∈X), dice limitato inferiormente se X possiede minoranti (∃h∈ℝ: h≤x, X si dice ∀x∈X).

Limitato se lo è superiormente e inferiormente (∃h,k∈ℝ: h≤x≤k, ∀x∈X). Ad esempio, nel caso di X=[-2,+∞[, si può dire che esso è un intervallo limitato solo inferiormente, comunemente detto intervallo illimitato (intervallo che non è limitato contemporaneamente superiormente e inferiormente). Se X= , l’insieme è limitato inferiormente per x≤0. Se X=ℤ, esso è illimitato.

03/11/2022 Estremi, teorema della completezza e funzioni

L’estremo superiore e il massimo

Quando vi è un maggiorante, ve ne sono tanti altri, quindi si parla di insieme dei maggioranti. X⊆ℝ limitato superiormente, l’insieme dei maggioranti è M= k∈ℝ, k≥x, Si chiama ∀x∈X. estremo superiore di X il più piccolo di tutti i maggioranti di X (si dice supX).

Es. X=x∈ℝ : 0<x²-1<2 Soluzione → X: -√3<x<-1 V 1<x<√3 X: ]-√3,-1[ ∪ ]1,√3[ ed è limitato superiormente e l’insieme dei maggioranti è M= k∈ℝ : k≥√3. Chi è l’estremo superiore? Il più piccolo di tutti i maggioranti, ovvero √3.

Es. X= x∈ℝ: -2≤x<2 = [-2,2[ ed è limitato superiormente per M=k∈ℝ : k≥2, con k=2 come estremo superiore.

Es. X= [-2,2] sempre limitato superiormente con M= k∈ℝ : k≥2, ma l’estremo superiore è sempre k=2. Questa volta, però, l’estremo superiore è un elemento dell’insieme. In questo caso, allora, si parla di massimo.

Dunque, se X⊆ℝ limitato superiormente, M si dice massimo per X se

1. M∈X
2. M è il più piccolo dei maggioranti per X

L’estremo inferiore e il minimo

Sia X⊆ℝ limitato inferiormente, si chiama estremo inferiore di X (infX) il più grande dei minoranti.

Es. X=x∈ℝ: 0<x²-1<2 → ]-√3,-1[ ∪ ]1,√3[ Minoranti = k∈ℝ : k≤-√3 e l’estremo inferiore è k=-√3.

Es. X= [-2,2[ minoranti= k∈ℝ: k≤-2, l’infX è -2, ma in questo caso è anche il minimo, poiché appartenente all’insieme X.

Es. X= ]-2,2] minoranti= k∈ℝ: k≤-2, l’infX è -2.

Dunque, X⊆ℝ limitato inferiormente, m si dice minimo per X se

1. m∈X
2. m è il più grande dei minoranti per X

Se si prende l’intervallo X= [5, +∞[, esso è limitato inferiormente con minoranti = k∈ℝ : k≤5 con infX = 5 = m, però è illimitato superiormente perché non ammette maggioranti. Quando un insieme è illimitato superiormente, ovvero non ammette maggioranti, il supX è +∞. Quando un insieme è illimitato inferiormente, ovvero non ammette minoranti, l’infX è -∞.

Es. X = x∈ℝ, x = n/ (n+1), n∈ℕ Se n=1, X=2 Se n=2, X=2/3 Se n=3, X=3/4 e così via. L’insieme è limitato inferiormente per tutti i numeri inferiori a 1/2 (minoranti = k∈ℝ : k≤1/2, con infX= 1/2 = m). L’insieme è limitato superiormente perché certamente tutti i maggioranti per X sono i numeri ≥1 (maggioranti = k∈ℝ: ≥1, quindi certamente supX=1, però 1 non appartiene a X, quindi l’insieme non ammette massimo, 1∉X).

Per infX e supX valgono alcune caratterizzazioni

Caratterizzazione del supX: X⊆ℝ limitato superiormente, L=supX se e solo se

1. L≥x, ∀x∈X
2. ∀ε>0 ∃η∈X η>L-ε

Caratterizzazione dell’infX: X⊆ℝ limitato inferiormente, l=infX se e solo se

1. l≤x, ∀x∈X
2. ∀ε>0 ∃η∈X η<l+ε

Es. X = x∈ℝ : x=(-1)ⁿ - 1/n, n∈n pari x= 1-1/n ; n dispari X=-1-1/n Se n=1, x=-2 Se n=2, x= 1/2 Se n=3, x= -4/3 Se n=4 x=3/4 Se n=5, x= -6/5 X è limitato inferiormente perché x≥-2 per n pari e n dispari (dunque ogni elemento ∀x∈X: del nostro insieme). Ma -2 è anche un elemento dell’insieme per n=1, dunque infX=-2=m. X è limitato superiormente perché : x<1 per n dispari e per n pari (si verifica!). Ma 1 ∀x∈X è effettivamente il più piccolo (supX)? Si verificano allora le due proprietà dell’estremo superiore.

1. La prima è ovvia, in quanto 1 è un maggiorante;
2. Verifichiamo che : ovvero che se si diminuisce anche di poco il ∀ε>0 ∃η∈X η>1-ε, maggiorante, esso non lo è più. : (1)ⁿ-1/n>1-ε → → ∃n∈ℕ Es. ∃η∈ℕ ∃η∈ℝ Per n pari → 1/n<ε e dunque n>1/ε verificato per il principio di Archimede, che afferma che, preso un qualsiasi numero naturale, ne esiste sempre uno più grande di esso. Quindi è stato verificato che 1 è il più piccolo dei maggioranti, dunque supX=1.

Es. X= x∈ℝ, 4<x²<9 X=]-3,-2[ U [2,3[ infX= -3 supX=3

Es. √(x²+2)≤x+3 La soluzione x≥-7/6 con infX=-7/6=m

Proprietà

A, B⊆ℝ con A⊆B, A e B limitati superiormente, che correlazione c’è tra supA e supB? supA≤supB, ovvero il supA risulta essere un maggiorante per B.

Se invece i due insiemi sono limitati inferiormente, cosa succede tra infA e infB? La disuguaglianza si inverte, ovvero infA≥infB.

Se i due insiemi sono entrambi limitati (sia superiormente che inferiormente) e sempre A⊆B, allora supA≥infB e infA≤supB.

Teorema della completezza

Ma perché si lavora in ℝ e non in ℚ? X= x∈ℚ : x≥0, x²<√2 X è limitato inferiormente (minoranti = x∈ℚ : x≤0 e coincide con il minimo) X è limitato superiormente (maggioranti = x∈ℚ : x>√2, ma l’estremo superiore non esiste, perché, se per assurdo ∃supx= q, q è un maggiorante, quindi q>√2, ma tra questi due numeri esistono infiniti razionali, perciò certamente ∃y∈ℚ : q>y>√2 ed equivale a dire √2<y<q, il che non è possibile perché q dovrebbe essere il più piccolo dei maggioranti). Di conseguenza, esistono insiemi privi di estremi superiori, ma solo in ℚ, non in ℝ, X= x∈ℝ x≥0, x²<√2, maggioranti = k∈ℝ k≥√2, supX∈ℝ =√2. Ciò è dimostrato dal teorema della completezza.

Esso dice che X⊆ℝ non vuoto, limitato superiormente, allora esiste ed è unico supX∈ℝ. Stessa cosa se limitato inferiormente (infX∈ℝ). È questo il motivo per cui si lavora in ℝ e non in ℚ.

Le funzioni

Una funzione è una relazione che si stabilisce tra due sottoinsiemi di ℝ. A, B⊆ℝ A→B, a∈A→f(a)∈B per ogni elemento di A, vi associo uno e un solo elemento di B

• A = dominio di f
• B = codominio di f (insieme di arrivo e solitamente è ℝ, ovvero lo spazio ambiente e si parla di funzioni a valori reali)

Ovvero y∈B: y=f(x) e si chiama insieme immagine di f che è più importante del codominio. (Es. a ogni x associo il suo quadrato x→x², allora A=ℝ, B=ℝ, f(A)=[0,+∞[ sempre contenuto in ℝ in quanto ogni numero al quadrato è sempre ≥0).

Importante è anche il grafico di f, ovvero l’insieme di tutte le coppie xy del prodotto cartesiano tali che y in realtà non è il generico del codominio, bensì l’elemento dell’insieme immagine (x,y)∈A,B : y=f(x), f = (x, f(x)) ℝ².⊆ ℝ,

Es. x →x+3 allora Domf=f: f(Domf)=ℝ, grafico (x, f(x)), f= (x, f(x)),

Proprietà

Sia f una funzione con dominio X (X→ℝ)

• La funzione si dice iniettiva, se a elementi distinti del dominio, corrispondono immagini distinte (∀x₁,x₂∈X con x₁≠x₂ → dal punto di vista grafico, f(x₁)≠f(x₂)…