Appunti Matematica

Alcuni elementi di logica

Lezione 1 Martedì 4 ottobre 2022

Esercizi per casa:

• Definizione logica matematica
• Definizione teoremi
• Connettivi

Punti importanti:

• Vero e vero dà vero
• Falso e falso dà falso
• Falso e vero dà falso
• Vero e falso dà falso
• Falso implica falso dà vero
• Vero implica falso dà falso
• Vero o vero dà vero
• Falso o falso dà falso

Argomento lezione:

Nella matematica tradizionale, come è noto, si parte da alcuni principi, la cui validità è assunta senza dimostrazione (gli assiomi), per poi dedurne nuove affermazioni (i teoremi). Questo procedimento presuppone delle regole che stabiliscano in quale maniera possano essere formulati gli assiomi ed i teoremi e quali siano le tecniche di deduzione ammissibili. La logica è la disciplina che studia le regole di enunciazione e deduzione. La prima nozione fondamentale è quella di affermazione (o proposizione o enunciato), è opportuno prendere in considerazione sia affermazioni vere sia affermazioni false. D'altra parte, non sono ammesse altre possibilità, oltre a verità e falsità.

Come nel linguaggio comune, molte affermazioni si ottengono combinando opportunamente affermazioni più elementari. Il modo più semplice è la negazione. Se P è un'affermazione, è P (non P) l'affermazione che è vera quando P è falsa e viceversa. La seguente tavola riassume questa caratterizzazione:

Un secondo modo è la congiunzione. Se P e Q sono due affermazioni, e è l'affermazione che è vera quando P e Q sono entrambe vere. La tavola corrispondente è:

Un terzo modo è la disgiunzione. Se P e Q sono due affermazioni, P o Q è l'affermazione che è vera quando almeno una delle due affermazioni è vera. In particolare, se P e Q sono entrambe vere, P o Q è vera. La tavola è:

Un quarto modo, meno ovvio, è l'implicazione (P Q: P implica Q). Per ottenere questo risultato è necessario fare in modo che le affermazioni siano tutte vere. Questa esigenza obbliga intanto alle seguenti scelte:

In conclusione, l'affermazione P⇒ Q è sempre vera, tranne il caso in cui P sia vera e Q sia falsa. Infine, l'ultimo modo che consideriamo è la doppia implicazione. Date due affermazioni P e Q, l'affermazione P Q ("P se e solo se Q") è vera quando P e Q sono entrambe vere o entrambe false. La tavola corrispondente è:

I simboli , e, o, e si chiamano connettivi logici. I teoremi sono proposizioni di una lingua che può esprimersi in due modi:

1. Se allora: condizione sufficiente
2. Se solo se: teoremi di caratterizzazione

La relazione è una proposizione il cui valore di verità o di falsità non è stabilito a priori e dipende dalle variabili che costituiscono la relazione. Esse si dividono in relazioni unarie (a una variabile), binarie (a due variabili) e zeroarie (nessuna variabile).

Esercizi per casa

• ((P)) P P (P) 1 0 1 0 1 0
• (P e Q) (P) o Q P Q (P e Q) (P) o (Q) 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1
• P Q (P o Q) (P) e (Q) 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0
• (P⇒Q) (P) o Q P Q P (P) o Q 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1
• P Q (P Q) P e (Q) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
• (P Q) (P Q) e (Q P) P Q 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0

Riepilogo connettivi e proprietà dei numeri reali

Lezione 2 Martedì 4 ottobre 2022

Punti importanti:

• Connettivi
• Spiegazione del connettivo verticale
• Proprietà dei numeri reali

Argomento lezione:

P e Q negazione alternativa P Q (almeno una delle due deve essere falsa per averla vera).

Esercizi:

• P P P P P P P 1 0 0 0 1 1
• P e Q (P Q) P Q P e Q (P Q) 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

Numeri reali

Dall'insieme dei numeri reali ricordiamo che, dati due numeri reali x, y, sono definiti il numero reale somma x + y ed il numero reale prodotto xy. Per ogni numero reale x, si denota con -x l'opposto di x e, se x ≠ 0, con 1/x il reciproco di x. Esistono infine due numeri reali speciali, denotati con i simboli 0 e 1, che godono particolari proprietà rispetto a somma e prodotto. Quest'ultime proprietà fondamentali possono essere compendiate dicendo che per ogni x, y, z in ℝ:

• Proprietà associativa della somma
• Proprietà commutativa della somma
• Proprietà dell'esistenza dell'elemento neutro rispetto alla somma
• Proprietà dell'esistenza dell'elemento opposto
• Proprietà associativa del prodotto