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Problema
Sia f(x, y) = x3 + 7 - e-y2 - 12x; sia (x0, y0) l'unico punto di minimo relativo di f. Calcolare x0 + y0 + f(x0, y0).
Soluzione
f = 0 porta al sistema
3x2 - 12 = 0
2ye-y2 = 0
che ha come soluzioni P1 = (2, 0) e P2 = (-2, 0). L'Hessiano di f è dato da
| 6x | 0 |
| 0 | e-y2(2 - 4y2) |
H =
Ne segue che
| 12 | 0 |
| 0 | 2 |
H(P1) =
che ha determinante positivo; essendo 12 > 0, si ha che P1 è punto di minimo. Si ha poi
| -12 | 0 |
| 0 | 2 |
H(P2) =
la quale ha determinante negativo. Quindi P2 è punto di sella. Allora si ha 2 + 0 + f(2, 0) = -8.
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