Massimi e minimi di funzioni in due variabili 4

Determinare massimi e minimi liberi della funzione

f(x, y) = x² - xy² + 2y².

Soluzione. ∇f = 0 porta al sistema

{ 2x − y² = 0−2xy + 4y = 0

che ha come soluzioni O = (0,0) P₁ = (2,2) P₂ = (2,−2).

L'Hessiano di f è dato da

H = ( 2   −2y−2y   −2x + 4 ).

Ne segue che

H(O) = ( 2   0       0   4 )

che ha due autovalori positivi: O è dunque un punto di minimo.

H(P₁) = ( 2   −4       −4   0 )

che ha determinante negativo, e dunque autovalori di segno opposto: P₁ è un punto di sella.

H(P₂) = ( 2   4       4   0 )

che ha ancora determinante negativo, per cui anche P₂ è punto di sella.