Estratto del documento
Determinare massimi e minimi liberi della funzione
f(x, y) = 1⁄3x3 − xy2 + 2y3
Punti critici
I punti critici sono le soluzioni del sistema
soluzione:
x2 − y2 = 0
−2xy + 6y2 = 0
che ha come soluzioni P1 = (0, 0), P2 = (6, 2).
Studio del punto P1
L’Hessiano è dato da
H =
2x −2y
−2y −2x + 12y
Ora si ha
H(P1) =
0 0
0 0
Ne segue che P1 necessita di studio locale; intanto
f(x, y) − f(0, 0) = f(x, y).
Restringendoci alla retta x = 0, si ha che f(x, y) = 2y3, che assume, in un qualsiasi intorno di (0, 0), sia valori positivi sia valori negativi. Dunque P1 è un punto di sella per f.
Studio del punto P2
Invece
H(P2) =
12 −4
−4 12
Volendo calcolare gli autovalori, si deve dunque risolvere
12 − λ −4
−4 12 − λ
= 0
che diventa
λ2 − 24λ + 128 = 0
che ha una soluzione positiva ed una negativa; quindi P2 è un punto di sella per f.
Anteprima
Vedrai una selezione di 1 pagina su 1
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
