Esercizi sui limiti: [math]\lim_{{{x}\to-\infty}}{\left(\frac{6}{\pi} \arctan{{\left(-{x}^{2}\right)}}+\frac{{{1}+{2}{x}^{3}+{8}{x}^{4}}}{{{2}{x}^{4}-{3}{x}^{2}}}+{3}{e}^{{{2}{x}}}\right)}[/math]

Calcolare

$$\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{1+2x+8x³}{2x⁴-3x²}+\frac{6}{\pi}\arctan(-x²)+3e^2x\right).$$

Per definizione di arctan si ha:

soluzione.

$$\lim_{x\to-\infty}\arctan(-x²)=-\frac{\pi}{2}$$

da cui

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{6}{\pi}\arctan(-x²)=-3.$$

Procedendo come nell’Esercizio 1 si ha:

$$\frac{1+2x+8x³}{2x⁴-3x²}= \frac{\frac{1}{x⁴}+\frac{2}{x³}+\frac{8}{x}}{\frac{2}{x⁴}-\frac{3}{x²}}=4,$$

da cui

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{1+2x+8x³}{2x⁴-3x²}=4.$$

Infine si ha, per definizione di esponenziale:

$$\lim_{x\to-\infty}3e^2x=0$$

essendo

$$\lim_{x\to-\infty}2x=-\infty.$$

Riassumendo abbiamo

$$\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{6}{\pi}\arctan(-x²)+\frac{1+2x+8x³}{2x⁴-3x²}+3e^2x\right)=1.$$