Esercizi sui limiti: [math]\lim_{{{x}\to{0}}}{\left(\frac{{ \arctan{{\left({2}{x}^{2}\right)}}}}{{x}^{2}}+ \cos{{\left({2}{x}+\pi\right)}}+{6}{x}^{ -{{3}}} \log{{\left({1}+{6}{x}^{3}\right)}}\right)}[/math]

Calcolare

2 arctan(2x²) −3 3 + cos(2x + π) + 6x log(1 + 6x³).

lim 2

x

x→0

Soluzione

Anzitutto si ha

2 arctan(2x²) log(1 + 6x³)

arctan(2x²) −3 3 + cos(2x + π) + 6x log(1 + 6x³) = 2 + cos(2x + π) + 36.

2 2 3

x 2x 6x

2

Posto y = 2x si ha che y → 0 se x → 0 e inoltre

2

arctan(2x²) arctan y

=

2

2x y

che tende a 1 per y → 0, per un noto limite notevole. Ne segue che

2

arctan(2x²) = 1.

lim 2

2x

x→0

Per continuità della funzione y = cos x si ha

lim cos(2x + π) = cos π = −1.

x→0

3

Infine, posto y = 6x si ha y → 0 per x → 0 e

3 log(1 + y)

log(1 + 6x³) =

3

6x y

che tende a 1 se y → 0, per un noto limite notevole. Si ha dunque

3

log(1 + 6x³) = 1.

lim 3

6x

x→0

Risultato

Riassumendo abbiamo che 2

arctan(2x²) −3 3

lim + cos(2x + π) + 6x log(1 + 6x³) = 37.

2

x

x→0