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Calcolare

limx → 0 ((x3 + 5)/(5x2 + 1) + sin2(3x)/x + (e−3x − 1)/x).

Soluzione

Per continuità si ha

limx → 0 (x3 + 5)/(5x2 + 1) = 5.

Posto y = 3x osserviamo che y → 0 per x → 0 e

sin2(3x)/x = 3 sin2 y/y = 3 sin y · sin y/y

che tende a 0 dal momento che sin y → 0 per y → 0 e

limy → 0 sin y/y = 1.

Infine, posto y = −3x abbiamo y → 0 per x → 0 e

(e−3x − 1)/x = −3(ey − 1)/y.

Ricordando che

limy → 0 (ey − 1)/y = 1

si ha che

limx → 0 (e−3x − 1)/x = −3.

Dunque si ha

limx → 0 ((x3 + 5)/(5x2 + 1) + sin2(3x)/x + (e−3x − 1)/x) = 2.

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Esercizi sui limiti: [math]\lim_{{{x}\to{0}}}{\left({\frac{{{x}^{3}+{5}}}{{{5}{x}^{2}+{1}}}}+{\frac{{{{\sin}^{2}{\left({3}{x}\right)}}}}{{{x}}}}+{\frac{{{e}^{{-{3}{x}}}-{1}}}{{{x}}}}\right)}[/math] Pag. 1
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Sintesi

Svolgimento del seguente limite

[math]\lim_{{{x}\to{0}}}{\left({\frac{{{x}^{3}+{5}}}{{{5}{x}^{2}+{1}}}}+{\frac{{{{\sin}^{2}{\left({3}{x}\right)}}}}{{{x}}}}+{\frac{{{e}^{{-{3}{x}}}-{1}}}{{{x}}}}\right)}[/math]

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