Limiti di una funzione in una variabile: esercizio 2.14 con commento audio

Calcoliamo il limite per l'iscrizione zero di x x meno x che moltiplica uno più x tutto fratto x al cubo

Anche qui, come esercizio di prima, si deve sviluppare con Taylor attorno a x uguale a zero la forma indeterminata 0/0. E anche qui il fatto che sotto ci sia x alla terza suggerisce che sopra ci deve restare, ci può restare infinitesimo di ordine x alla terza.

Di conseguenza sviluppiamo il numeratore con la formula di Taylor e alla x sviluppato e uno più x più x al quadrato mezzi più x al cubo se è più piccolo di x al terzo. Tutto questo moltiplica lo sviluppo di x fino ad infinitesimo del terzo ordine, cioè x meno x cubo sesti più piccoli x la terza in meno x x quattro. Lasciamo in quanto termine polinomiale.

A questo punto svolgiamo il prodotto di questi due polinomi che ci sono al numeratore della frazione, ricordando che. Siccome siamo restati un po piccoli. X la terza, tutti i termini di grado superiore a tre che troveremo sviluppando questo prodotto possiamo individuarli in un unico piccolo x alla terza. Di conseguenza.

Per tutti questi prodotti restano in vita, a meno della piccola x la terza, solamente quelli con una potenza più bassa di tre e, in particolare, facendo il conto rimane in vita solamente il termine x la terza fratto tre, tutto il resto è uno piccolo x la terza. Semplificando tutto il limite per x x tende a zero di x la terza fratto tre fratto x la terza, che è un terzo, più un limite per x ragazzino di piccolo x la terza fratto x la terza, che è zero per definizione di piccolo, quindi la somma vale un terzo.