Limiti di una funzione in una variabile: esercizio 2.13 con commento audio

Calcolare limite per lo zero che è alla x meno uno meno due x meno x al quadrato mezzi più seni x tutto fratto x per il seno quadrato di x

Ora, in questo caso appare abbastanza evidente la necessità di usare gli sviluppi di Taylor di cloni, se vogliamo, in quanto qui il centro x, quello zero, va fatto. Attenzione a fermarsi, ad arrestarsi all'ordine adatto per riuscire a concludere contro un ben preciso. Sviluppiamo in particolare fino al terzo ordine, dopo aver osservato che, grazie a un limite notevole, possiamo semplificare la frazione in quanto alla x meno uno meno 2xx4 mezzi più x fratto x quattro x lo possiamo scrivere come e alla x meno uno meno 2xx4 mezzi più scemi x fratto x la terza che moltiplica x al quadrato fratto se x otto.

A questo punto il secondo fattore lo isoliamo. Rimane il limite per x che tende a zero di x x tutto al quadrato. Questo fattore non dà fastidio in quanto il suo valore è uno per il limite notevole del seno. Rimane da calcolare quindi il limite per x, la x per uno meno due x altrimenti più x tutto fratto x al cubo, cui denominatore va come x al cubo.

Per cui l'idea di base è quella di arrestarsi almeno fino alla potenza terza, fino all'infinitesimo di ordine tre al numeratore. Quindi sviluppiamo alla x fino appunto a un picco di x. Alla terza lo sviluppo è uno più x e più x al quadrato metti più x al cubo se resti più appunto il resto più piccolo di x alla terza meno uno x lasciamo e anche x quattro mesi sviluppiamo x fino anch'esso ad avere il resto più piccolo di x.

La terza quindi sarà più x meno x, la terza fratto sei più piccola di x alla terza. Semplificando le potenze che si possono semplificare, ricordando che la somma di un piccolo infinitesimo, infinitesimo dello stesso ordine, si arriva al limite per zero t o piccolo di x alla terza fatto x, la terza che è zero per definizione più piccolo.