Kx^2-(2k+1)x+k-5=0 discussione equazione parametrica

Verifica classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di 2° grado 12

Per quali valori di k l’equazione ha:

• Soluzioni reali;
• La somma delle radici è 2;
• La somma dei reciproci delle radici è 1;
• La somma dei quadrati delle radici è 0;
• La somma delle radici sia maggiore del loro prodotto.

kx² + (2k + 1)x + k − 5 = 0

ax² + bx + c = 0

Calcolo del delta

Per prima cosa, troviamo il delta dell’equazione:

Δ = b² − 4ac

Δ = (2k + 1)² − 4 × k × (k − 5)

Δ = 4k² + 4k + 1 − 4k² + 20k

Δ = 1 + 24k

a. Soluzioni reali

Affinché l’equazione abbia soluzioni reali, è necessario che il suo delta sia maggiore o uguale a zero. Imponiamo quindi che:

Δ ≥ 0 ⇒ b² − 4ac ≥ 0

(2k + 1)² − 4 × k × (k − 5) ≥ 0

4k² + 4k + 1 − 4k² + 20k ≥ 0

1 + 24k ≥ 0

k ≥ −1/24

b. Somma delle radici uguale a 2

Per far sì che la somma delle radici sia 2, è necessario porre che:

x₁ + x₂ = 2 ⇒ −b/a = 2

−(2k + 1)/k = 2

Poniamo k ≠ 0.

Risolviamo l’equazione:

(2k + 1)/k = 2

(2k + 1)/k − 2 = 0

(2k + 1 − 2k)/k = 0

1/k = 0 IMPOSSIBILE

Non esistono quindi valori di k affinché la somma delle radici dell’equazione sia 2.