Equazione di secondo grado fratta parametrica con discussione

Complementi di algebra

Equazioni di secondo grado

Esercitazione n^o 16

Equazione di secondo grado fratta parametrica con discussione

Discussione del Δ al variare di k per l'esistenza delle radici

Risolvi la seguente equazione nell’incognita x, discutendo i valori del parametro reale a se necessario.

2/(x + 3a) - (4x + 1)/(x - 3a) = 12a/(9a² - x²)

Scomponiamo in fattori il denominatore al secondo membro.

2/(x + 3a) - (4x + 1)/(x - 3a) = 12a/((3a - x)(3a + x))

2/(3a + x) - (4x + 1)/(3a - x) = 12a/((3a - x)(3a + x))

Discutiamo le condizioni di esistenza.
C.E.: x ≠ ±3a.

Calcoliamo il denominatore comune.

[2(3a - x)/(3a + x)(3a - x)] - [(4x + 1)(3a + x)/(3a + x)(3a - x)] = 12a/((3a + x)(3a - x))

Moltiplichiamo ambo i membri per il denominatore comune e calcoliamo.

2(3a - x) + (4x + 1)(3a + x) = 12a

6a - 2x + 12ax + 4x² + 3a + x - 12a = 0

Otteniamo la forma normale.

4x² + (12a - 1)x - 3a = 0

Δ = (12a - 1)² - 4 · 4 · (-3a) = 144a² - 24a + 1 + 48a = (12a + 1)²

Il discriminante è positivo o nullo per ogni valore di a.

Le soluzioni risultano
x = (1 - 12a ± (12a + 1))/8 → x₁ = (1 - 12a - 12a - 1)/8 = -3a , x₂ = (1 - 12a + 12a + 1)/8 = 1/4.

Confrontiamo ora i vari casi con le condizioni di esistenza:
∆ = 0 ⇔ a = - ¹/₁₂. Se a = -¹/₁₂, C.E. x ≠ ±¹/₂ ( -¹/₁₂) → x ≠ ± ¹/₄ e l’equazione ha una soluzione doppia x = ¹/₄ non accettabile.
∆ > 0 ⇔ a ≠ -¹/₁₂. Se a ≠ -¹/₁₂, la soluzione x₁ = -³a è esclusa dalle condizioni di esistenza. Rimane la soluzione x₂ = ¹/₄. Se x = ¹/₄ le condizioni di esistenza impongono una ulteriore condizione per il parametro: x ≠ ±3a → ¹/₄ ≠ ±3a → a ≠ ±¹/₁₂.

Riassumiamo quanto visto sopra:
se a ≠ ±¹/₁₂ l’equazione ha una sola soluzione accettabile x = ¹/₄
altrimenti non ha soluzioni accettabili.

Determinazione dei valori del parametro k

Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione, nell’incognita x,

x² + (6k – 1)x + 9k² = 0 ha radici reali e:

1. Soluzioni coincidenti;
2. Una soluzione uguale a 1;
3. Somma delle soluzioni uguale a 13;
4. La somma delle soluzioni è tripla del loro prodotto.

a) ¹/₁₂; b) 0 ∨ -²/₃; c) -2; d) -¹/₃

L’equazione parametrica ha soluzioni reali se il discriminante è positivo o nullo.

Calcoliamo il discriminante.
Δ = (6k–1)² – 4·9k² = –12k + 1

L’equazione ha soluzioni reali se e solo se k ≤ ¹/₁₂.

• Le radici sono coincidenti se il discriminante è nullo → k = ¹/₁₂.
• La somma delle soluzioni è x₁ + x₂ = 1–6k e il loro prodotto è x₁ · x₂ = 9k². Se x₁ = 1, si avrà:
  • { 1 + x₂ = 1–6k
  • { x₁ · x₂ = 9k² → { 1 + 9k² = 1–6k
  • { x₂ = 9k² → 9k² + 6k = 0 → k₁ = 0, k₂ = -²/₃.

Osservazione
L’esercizio si poteva risolvere anche imponendo che una soluzione fosse uguale a 1, quindi doveva risultare vera
1² + (6k–1)·1 + 9k² = 0 → 9k² + 6k = 0 → k₁ = 0, k₂ = -²/₃.