Giornata di studio Analisi Non Standard 6 (ebook)

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Sesta giornata nazionale di Analisi non standard nelle scuole superiori

Atti del convegno

Lucca, 1 ottobre 2016

ii VI giornata di studio NSA

La giornata di studio, organizzata dal Centro per l’Aggiornamento, la Formazione e la Ricerca Educativa dell’Università di Pisa, in collaborazione con il Piano Lauree Scientifiche dell’Università di Pisa e con il Gruppo di Formazione Matematica della Toscana “Giovanni Prodi”, si è svolta presso il Complesso San Micheletto a Lucca sabato, 1 ottobre 2016.

Impaginato a cura di Bruno Stecca, Daniele Zambelli

«Matematicamente.it

info@matematicamente.it

ISBN 9788899988050

Ottobre 2016

Licenza CC-BY-ND

http://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/legalcode

Indice

Presentazione v

1 I numeri euclidei 1

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Il continuo di Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 L’assioma di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Definizione semiformale dei numeri euclidei . . . . . . . . . . . . 4

1.5 La numerosità di un sottoinsieme dei naturali . . . . . . . . . . . 6

1.6 La parte standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Analisi non standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Considerazioni conclusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Aspetti non standard non riconducibili ad una trattazione classica 11

2.1 Una domanda provocatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 L’ambiente della domanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Dove cercare le soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Quanti elementi separatori? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Nessun elemento separatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Almeno un elemento separatore per ciascuna sezione . . . . . . . 14

2.7 Un solo elemento separatore per ciascuna sezione . . . . . . . . . 15

2.8 Più elementi separatori per ciascuna sezione . . . . . . . . . . . . 15

2.9 Quale scelta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.10 Velocità istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.11 I numeri trascurabili sono utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.12 Operare con i numeri trascurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.13 Il limite con i numeri trascurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.14 Difficoltà senza i trascurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.15 Nozioni di infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.16 Integrare entrambi i mondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Teaching analysis with ultrasmall numbers 29

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 A possible solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Proving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 The limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 The problem of induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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ii VI giornata di studio NSA

4 Analisi standard ed analisi non standard: una convivenza possibile 45

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 NSA: dimostrazioni... spettacolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Il teorema di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2 Spezzate di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Nemmeno l’analisi non standard può fare a meno di stime quantitative 49

4.3.1 Stime e continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.2 Alcune altre considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.3 Conclusione: lascio la parola all’antenato più nobile dell’Analisi non standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Quanto didattica della NSA: svolgimenti e coinvolgimenti in classe virtuale 53

5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Il problema: la lunghezza di un rotolo . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Una soluzione approssimata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.1 Osservazioni: il problema dello spessore . . . . . . . . . . 56

5.4 Una soluzione più raffinata, con il modello non standard . . . . . 57

5.4.1 La lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4.2 La lunghezza di una spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4.3 Lunghezza della prima spira della spirale di Archimede, attraverso l’integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5 Coding sulla lunghezza di un rotolo di carta igienica . . . . . . . . 64

5.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Sitografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Quale matematica per il terzo anno di un liceo a vocazione non scientifica? 71

6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Un confronto tra programmi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.3 Il contributo di NSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3.1 Numeri iperreali e funzioni quadratiche . . . . . . . . . . . 75

6.3.2 Funzioni cubiche e metodo di Fermat . . . . . . . . . . . . 77

6.3.3 Funzioni omografiche e infiniti . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7 Il mondo iperreale attraverso i microscopi ottici 83

7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.2 La retta reale e i microscopi standard . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3 La retta iperreale e i microscopi infinitesimali . . . . . . . . . . . 85

7.4 Microscopi puntati in microscopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

INDICE iii

7.5 Funzioni derivabili e microscopi in due dimensioni . . . . . . . . . 92

7.6 Funzioni derivabili e microscopi puntati in microscopi . . . . . . . 94

7.7 Una semplice applicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8 Insegnamento dell’analisi in termini di ordini di grandezza 101

8.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.2 Approccio antropologico al concetto di numero . . . . . . . . . . 102

8.3 Dal modello antropologico al modello matematico . . . . . . . . . 105

8.4 Le estensioni di ZF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.5 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9 Funzioni di due variabili 109

9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.2 Le derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9.3 L’incremento e il differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.4 Il piano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.5 I massimi e i minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.6 Le derivate parziali seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.7 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

10 Confronto tra dimostrazioni standard e non standard 119

10.1 Il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10.2 Dove i due metodi sono uguali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10.3 Dove si incontrano piccole differenze . . . . . . . . . . . . . . . . 122

10.4 Dove l’approccio è completamente diverso . . . . . . . . . . . . . 125

10.4.1 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.4.2 Ipernaturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

10.4.3 Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

10.4.4 Teorema degli zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

10.5 Conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

iv VI giornata di studio NSA

Presentazione

La VI Giornata nazionale di Analisi Non Standard per la scuola superiore si è svolta a Lucca l’1 ottobre 2016 ed ha visto la partecipazione di oltre 70 insegnanti provenienti da varie parti d’Italia.

Si sono tenute 4 conferenze plenarie su aspetti generali di Analisi Non Standard, funzionali all’insegnamento. Il Prof. Sisto Baldo (Univ. Verona) ha proposto riflessioni sulla possibile convivenza di analisi “standard” e analisi “non standard”; il Prof. Vieri Benci (Univ. di Pisa) ha illustrato alcune recenti ricerche sul concetto di continuo euclideo; l’intervento del Prof. Ruggero Ferro (Univ. Verona), un pioniere nella didattica dell’Analisi Non Standard in Italia, si è concentrato su alcune rilevanti nozioni dell’analisi non riducibili ad una trattazione classica; il Prof. Richard O’Donovan, gradito ospite straniero, ha illustrato un originale approccio che sta sperimentando con successo da oltre dieci anni presso il College André-Chavanne di Ginevra.

All’interno della Giornata hanno poi avuto spazio 7 laboratori tenuti dai Proff. Sergio Casiraghi, Andrea Centomo, Riccardo Dossena, Achille Maffini, Lucia Rapella, Daniele Zambelli, Roberto Zanasi. I temi di questi laboratori hanno riguardato diverse esperienze didattiche “sul campo” che si sono sviluppate in scuole superiori in Italia ormai da diversi anni. Sono poi seguiti interessanti confronti e dibattiti con i molti docenti presenti.

L’incontro è stato organizzato dal CAFRE - Centro per l’Aggiornamento, la Formazione e la Ricerca Educativa dell’Università di Pisa, in collaborazione con il Piano Lauree Scientifiche dell’Università di Pisa e con il GFMT - Gruppo di Formazione Matematica della Toscana “Giovanni Prodi”.

Comitato organizzatore: Proff. Luisa Prodi e Sabina Sarti del Liceo Dini di Pisa, prof. Franco Favilli per il CAFRE. Consulenti scientifici: Proff. Ruggero Ferro e Bruno Stecca. Questo libro con gli atti del convegno è stato curato dai Proff. Bruno Stecca e Daniele Zambelli.

Il successo di questa sesta edizione e l’entusiasmo dimostrato dai partecipanti, lascia intravedere interessanti potenzialità sullo sviluppo dell’uso diretto di quantità infinitesime ed infinite, e più in generale dell’analisi non standard, nell’insegnamento nelle scuole superiori.

Marzo 2017 Il responsabile scientifico

Mauro Di Nasso

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vi VI giornata di studio NSA

1 I numeri euclidei

Vieri Benci - Università di Pisa

Se X è un insieme totalmente ordinato, quando possiamo dire che gli elementi di X formano un continuo coerente con l’idea di continuo della geometria euclidea?

Russell sosteneva che questo fosse uno dei tre problemi fondamentali della filosofia matematica e che fosse stato completamente risolto da Dedekind. Noi non concordiamo con questo punto di vista e mostreremo che il continuo di Dedekind non soddisfa le richieste della geometria Euclidea. Inoltre dimostreremo che la retta euclidea deve essere isomorfa ad un campo non-archimedeo.

Tra i vari campi non archimedei il campo che sembra più adeguato per modellizzare il continuo euclideo è un campo iperreale isomorfo al campo di Keisler che chiameremo campo dei numeri Euclidei. Presenteremo alcune proprietà particolari di questo campo.

1.1 Introduzione

La teoria dei numeri euclidei combina la teoria cantoriana dei numeri ordinali con l’Analisi Non Standard. In particolare, il campo dei numeri euclidei è un campo iperreale con una struttura extra che permette di definire somme trasfinite del seguente tipo β

X a

k

k=0

ove gli sono numeri euclidei e β è un ordinale minore del primo ordinale inaccessibile (non numerabile).

Inoltre il campo modellizza il continuo della geometria euclidea meglio di quanto facciano i numeri reali (almeno a nostro avviso).

Questo campo è stato recentemente introdotto da me e da Marco Forti ed è tuttora oggetto di ricerca. 1

2 VI giornata di studio NSA

Questa conferenza

Ho diviso questa conferenza in due parti:

• Nella prima parte farò alcune riflessioni che ci mostrano come alcune idee radicate in noi dall’abitudine, non siano così giustificate come sembra. Una di queste idee è che i numeri reali modellizzino in modo coerente il continuo euclideo.
• Nella seconda parte presenterò un possibile approccio al calcolo basato sui numeri euclidei invece che sui numeri reali.

Infatti, sotto alcuni aspetti, i numeri euclidei sono più semplici ed intuitivi dei numeri reali. Dunque ho immaginato come si potrebbe insegnare il calcolo differenziale ad uno studente (ideale) che conosca un po’ di geometria euclidea, ma ignori i numeri reali.

1.2 Il continuo di Dedekind

Nella geometria euclidea classica, le linee ed i segmenti non sono considerati insiemi di punti; al contrario, negli ultimi due secoli l’attitudine riduzionistica della matematica moderna ha descritto la geometria euclidea mediante una interpretazione insiemistica.

Così il continuo euclideo è stato identificato col continuo di Dedekind e la retta euclidea è stata identificata con l’insieme dei numeri reali (una volta che si sia fissata l’origine ed un segmento unitario O OU).

Nonostante che questa identificazione, oggi, sia quasi universalmente accettata, nondimeno è insoddisfacente (per non dire sbagliata), in quanto contraddice alcuni teoremi della geometria euclidea.

Il continuo di Dedekind non modellizza il continuo Euclideo

Come esempio consideriamo l’affermazione Euclidea che un segmento AB può essere diviso in due segmenti congruenti ed AM M B.

Se AB è identificato col continuo di Dedekind, allora ha un punto di massimo o ha un punto di minimo.

Allora AM ed M B non sono congruenti, dunque il continuo di Dedekind non è un modello corretto del continuo Euclideo.

Come modellizzare il continuo euclideo?

Per costruire un modello coerente, siamo obbligati ad assumere che i punti A, B ed M non appartengano al segmento AB.

Allora l’immagine della retta Euclidea che ne viene fuori è quella di un insieme linearmente ordinato nel quale il segmento AB è un sottoinsieme di E che non può essere identificato col segmento insiemistico S(A, B) := {X ∈ E | A < X < B}, poiché M ∈ S(A, B).

Dunque dobbiamo raffigurarci il segmento AB come un insieme di atomi intramezzati da spazi vuoti.

Il continuo di Dedekind ha dei fori

Noi ci aspettiamo che i punti della retta euclidea possano rappresentare tutte le grandezze.

D’altra parte esistono grandezze che non sono archimedee e dunque non possono essere modellate da R.

Tra 0 e R, l’insieme dei reali positivi, ha un buco che contraddice la nostra idea di continuo.

1.3 L’assioma di Archimede

Nella teoria euclidea delle proporzioni, un insieme di grandezze può essere posto in corrispondenza biunivoca con le lunghezze dei segmenti e le lunghezze dei segmenti soddisfano l’assioma di Archimede.

Dunque, assumendo questo assioma all’interno di una interpretazione insiemistica dei segmenti (orientati), possiamo costruire un campo isomorfo al campo dei reali, e dunque (dopo aver fatto le opportune identificazioni) si ha che R ⊂ E.

Lunghezze e distanze

Adesso prendiamo un atomo in AB: la distanza tra A ed a non può essere misurata da una lunghezza, poiché non è un segmento euclideo e nessun segmento euclideo è congruente a S(A, a).

Dunque le lunghezze non possono essere tante quante sono le distanze; se le lunghezze possono essere poste in corrispondenza biunivoca con le distanze R, devono essere poste in corrispondenza biunivoca con tutto E.

4 VI giornata di studio NSA

La geometria non archimedea

Assumendo che anche le distanze formino un campo, l’inclusione R ⊂ E implica che E è un campo non-archimedeo. Così, una idea coerente di continuo euclideo ci conduce direttamente alla geometria non-archimedea come è stata concepita da Giuseppe Veronese alla fine del XIX secolo.

Così una nuova domanda nasce naturalmente: esiste un campo non archimedeo che fornisce un modello di continuo euclideo più soddisfacente degli altri?

Io penso che l’insieme dei numeri euclidei possa soddisfare questa richiesta, ma non c’è abbastanza tempo per discutere questa questione nei dettagli. Adesso preferisco invece presentare una introduzione elementare dei numeri euclidei.

1.4 Definizione semiformale dei numeri euclidei

I numeri euclidei sono definiti come quei numeri che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con la retta euclidea. Il loro insieme verrà denotato con la lettera E.

Sfruttando le costruzioni con riga e compasso, dopo aver scelto un punto O in rappresentanza dello 0 ed un punto U in rappresentanza dell’unità, si possono definire le quattro operazioni e fornire ai numeri euclidei la struttura di campo ordinato.