Il necessario per superare "Analisi Matematica 1" - Appunti della prof. Teresa Radice

Prof. Katia Teresa

Orari: Venerdì dalle 8:30 oppure dalle 12:30

Insiemi

Un “aggregato caotico di oggetti determinati e distinti” (Cantone)

• Aggregato caotico: non ci interessa l'ordine
• Determinati: si può facilmente individuare l'appartenenza all'insieme
• Distinti: gli elementi si presentano una unica volta

Scriveremo con lettere maiuscole il nome dell'insieme (es. R) e con minuscole gli elementi (es. a)

{S = {a,b} = {b,a} con a,b ∈ S

Quantificatori

• ∀ ⇒ per ogni
• ∃ ⇒ esiste
• ∃! ⇒ esiste ed è unico

Prof. Rastile Teresa

Orari: Venerdì dalle 8:30 oppure dalle 12:30

Insiemi

Aggregato esastico di oggetti determinati e distinti (Lambda)

• Aggregato elastico: non ci interessa l'ordine
• Determinati: si può facilmente individuare l'appartenenza dell'insieme
• Distinti: gli elementi si presentano una unica volta

Scriveremo con lettere maiuscole il nome dell’insieme (es. R) e con minuscole gli elementi (es. a)

S = {a, b} = {b, a} con a, b ∈ S

Quantificatori

• ∀ ⇒ per ogni
• ∃ ⇒ esiste
• ∃! ⇒ esiste ed è unico

Diremo che un insieme è incluso in un altro quando ogni elemento di A appartiene anche a B

A ⊂ B ⇔ ∀x: x ∈ A ⇒ x ∈ B

Si potrà anche avere una inclusione propria quando esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A

A = {a, b, c} B = {a, b, c, d, e}

A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A: x ∈ B ∧ ∃x ∈ B: x ∉ A

Proprietà

Verifichiamo una proprietà al quando si può essere applicata ∀ x ∈ S

Ad es. S = {4, 2, 3, 4} α = n pari

α individuerà A = {2, 4} ➝ A ⊂ S

Applicando anche β n pari < 3, otteniamo B = {2}

A ⊂ S: x vero {2, 4}

B ⊂ B: β vero ➝ {2}

Otteniamo che β implica α (se β è vera allora lo sarà anche α) ➝ b ⊂ A

Chiamiamo β condizione sufficiente – se verifichiamo β verifichiamo di conseguenza anche α

Caso particolare: α ➝ β e β ➝ α ➝ α = β

Otteniamo una proprietà falsa se β n < 100, non si verifica su nessun elemento creazione di A ovvero dell’insieme vuoto.

A = {∅}

℘(S) - insieme di tutte e parti di S (tutti i possibili sottinsiemi pari di vuoto ed S totale)

Operazioni fra insiemi

Consideriamo A, B non vuoti e contenuti in S.

Unione A ∪ B = {x ∈ S: x ∈ A opp. x ∈ B}

S = {1, 2, 3, 4} A = {1, 2, 3} B = {3, 4}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4}

Intersezione A ∩ B = {x ∈ S: x ∈ A e x ∈ B}

Secondo l'esempio precedente abbiamo

A ∩ B = {3} (graficamente)

Sottrazione A - B = {x ∈ S: x ∈ A e x ∉ B} (seg(*))

B - A = {x ∈ S: x ∉ B e x ∉ A} (seg(*))

Prodotto

Siano A, B, C, ..., N insiemi non vuoti e facciamo il prodotto cartesiano

A x B x C x ... x N

creiamo una n-upla costituita da n componenti (a, b, ..., n) con a ∈ A, b ∈ B, ..., n ∈ N e con n pari al numero degli insiemi.

Es. A = {4, 5} B = {5, 6}

A x B = {(4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6)} → A x B ≠ B x A

Funzioni

Prendiamo X e Y come insiemi non vuoti. Definiamo una funzione f di X in Y tale che ogni elemento di X può appartenere ad un solo elemento di Y.

(f: A ∈ A ∃! B ∈ B; f: A → B)

f: X → Y

f(x) = {1 (x è umano) 2 (x è mamma)

Da quanto detto prima, f: I → S - I non sarà una funzione mentre f: I → T - S non sarà una funzione!

Chiameremo l'insieme di partenza X come dominio e l'insieme di arrivo (o delle immagini) Y come codominio.

f: X → Y

f(X) = {f(x) = Y, x ∈ X}, f(x) = y

f(X) ⊆ Y

Tipologia delle funzioni

Suriettiva: Se ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X, f(x) = y

Iniettiva: Se ad ogni elemento del Dom corrisponde un unico elemento del Cod.

Se una funzione è sia suriettiva che iniettiva allo stesso momento si dice biunivoca (o invertibile).

∀ y ∈ Y ∃! x ∈ X, f(x) = y

f: X → Y

f: Y → X

f^-1(B) = {x ∈ X | f(x) = y, y ∈ B}

Assiomi

Fissiamo un sistema sui numeri reali (R) e su di essi definiamo le operazioni e definiamo maggiore, minore o uguale.

• Somma
• (a; b) ∈ R x R; R => a + b ∈ R
• Prodotto
• (a; b) ∈ R => a . b ∈ R

//sia per somma che per prodotto

• Proprietà associativa
• (a + b) + c = (a + c) + b
• Proprietà commutativa
• (a + b)