Analisi matematica 1 - tutto il necessario

Name: Analisi matematica 1 - tutto il necessario
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Author: MarioSalvati

Revisionato il 11/07/2026

di MarioSalvati

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Compendio di appunti relativi al corso di Analisi Matematica 1 tenuto dalla prof. Radice Teresa.File di appunti corposo (esame da 9 crediti) che comprende l'intero programma del corso, con focus …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Radice Teresa

Università Università degli studi di Napoli Federico II

A.A. 2019-2020

126 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Prof. Nadile Teresa

Orari: Venerdì dalle 8:30 oppure dalle 12:30

Insiemi

Aggregato concreto e oggetti determinati e distinti (Canter)

Aggregato casistico e non ci interessa l’ordine
Determinati: si può facilmente individuare l’appartenenza all’insieme
Distinti: gli elementi si presentano una unica volta

Scriveremo con lettere maiuscole il nome dell’insieme (es A) e con minuscole gli elementi (es a)

S={a,b,c}={b,a,c} con a,b,c ∈ S

Quantificatori

∀ ⇒ per ogni
∃ ⇒ esiste
∃! ⇒ esiste ed è unico

Prof Naldi Terusa

Orari: Venerdì dalle 8:30 oppure dalle 12:30

Insiemi

Aggruppato caotico di oggetti determinati e distinti (Cantor)

Aggregato caotico: non ci interessa l'ordine
Determinati: si può facilmente individuare l'appartenenza dell'insieme
Distinti: gli elementi si presentano una unica volta

Scriveremo con lettere minuscole il nome dell'insieme (es R) e con minuscole gli elementi (es a)

S={a,b,f} ∋ {b,a} con a,b,c,d

Quantificatori

∀ ⇨ per ogni
∃ ⇨ esiste
∃! ⇨ esiste ed è unico

Inclusione di insiemi

Diciamo che un insieme è incluso in un altro quando ogni elemento di A appartiene anche a B

A ⊆ B ⇔ ∀x: x ∈ A ⇒ x ∈ B

Si potrà anche avere una inclusione propria quando A ⊆ B ed esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A

Per inclusione propria si intende una inclusione non nulla
4. ⊆0,1, ∅() ; {5} ⊆ {5,6,7,8} ; ∅
A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A|x ∈ B ∧ ∃x ∈ B | x ∉ A

Proprietà

Verifichiamo una proprietà α quando α può essere applicata ∀x ∈ β.

Per es. β = { 1, 2, 3, 4 }

α in pari
α indivisibile, A = {2,4} ⇒ A ⊆ β

Applicando anche β, n pari A = { 5 }, β vera, 5 = 5 ; { 4 }

Obtterremo che β implica α ( se β è vera allora lo sarà anche α) → b ⊆ A

Chiameremo β condizione sufficiente e se verifichiamo β verifichiamo di conseguenza anche α

Casolo particolare: α = β, e b ⇒ a ⇔ β

Otteniamo una proposizione falsa se γ n > 100 non si verifica su nessun elemento. Creazione di A ovvero l'insieme vuoto.

A = { ∅ } // solo tutti _{20 ...}gli insiemi

P(S) - insieme di tutte le parti di S (tutti i possibili sottinsiemi pari al nullo ed ė totale).

Operazioni tra insiemi

Consideriamo A, B, non vuoti e contenuti in S.

Unione

A ∪ B = {x ∈ S | x ∈ A oppure x ∈ B}

S = {4; 2; 3; 4} A = {1; 2; 3} B = {3; 4} A ∪ B = {1; 2; 3; 4}

Intersezione

A ∩ B = {x ∈ S | x ∈ A e x ∈ B}

Secondo esempio precedente otteniamo A ∩ B = {3} (graficamente)

Sottrazione

A - B = {x ∈ S | x ∈ A e x ∉ B} (seg. *)

B - A = {x ∈ S | x ∈ B - x ∉ A} (seg. *)

Prodotto cartesiano

Siano A, B, C, N insiemi non vuoti e facciamo il prodotto cartesiano - A x B x C x ... x N

Creiamo una sequenza costituita da n componenti (a, b, ... , n) con a ∈ A, b ∈ B, ..., n ∈ N e con n pari al numero degli insiemi

Esempio: π in R: A = {4; 2; 5} B = {5; 6}

A x B = {(4, 5), (4, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 5)}, (3, 6)} ⇒ A x B ≠ B x A

Funzioni

Prendiamo X e Y come insiemi non vuoti. Definiamo una funzione f se X in Y tale che ogni elemento di X può appartenere ad un solo elemento di Y.

a, b, e A e b ∈ B f: a → b

OkNo! X e Y f: Y per es.: S: {umani} T: {mammiferi}

Se qualcuno dello schema f: S → T non è una funzione mentre f: T → S non sarà una funzione.

Chiameremo l'insieme di partenza X come dominio e l'insieme di arrivo (o delle immagini) Y come codominio.

f: X → Y = f(X) = {y ∈ Y, k ∈ X, f(x) = y} F(X) ⊆ Y

Tipologia delle funzioni

Suriettiva: se ∀y ∈ Y ∃ x ∈ X, f(x) = y
Iniettiva: se ad ogni elemento del Dom corrisponde un unico elemento del Cod.
Se una funzione è sia suriettiva che iniettiva allo stesso momento si dice biunivoca (o iniettabile)

∀y ∈ Y ∃ ! x ∈ X, f(x) = y f: X → Y f: Y → X f: x → y e B ⊆ Y allora f^-1(B) = {x ∈ X | f(x) = y con y ∈ B}

(iniettività certa un po' riduttivo)

Assiomi

Fissiamo un sistema sui numeri reali (R) e su di essi definiamo le operazioni e definiamo maggiori, minori o uguali:

Somma (a,b) ∈ R×R → R^† a+b ∈ R
Prodotto (a,b) ∈ R → a·b ∈ R

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