Algebra lineare e geometria

Algebra 2021/2022

Prof.re Francesco Belardo

Appunti di Valeria Marra

Definizioni

Insieme

Un insieme viene definito attraverso gli oggetti che lo costituiscono, quindi facendo le sue proprietà e appartenenze. Vengono indicati nei vari insiemi con la notazione simbolica.

• N: numeri naturali = {0, 1, 2, 3, ..., 9}
• Z: numeri interi = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., }
• Q: numeri razionali = {m/n, m, n ∈ Z, n ≠ 0}
• I: numeri irrazionali, decimali non periodici, ad es. tutte le radici al di fuori di una radice esatta, es. √2, √3
• R: numeri reali: Q ∪ I
• C: numeri complessi: {a + bi ∈ C, con a,b ∈ R e i² = -1}

L'insieme si dice infinito se è rappresentabile su una retta orientata. In C. giocheremo solo sui Reali esclusi i numeri complessi e la scrittura infisso indica i simboli che verranno usati nel campo dei numeri reali.

Operazione

L'unione A ∪ B di insiemi si possono intersecare fra loro. Alcuni esempi:

• A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}
• A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B}
• A × B = {(a,b): a ∈ A ∨ b ∈ B}

Un prodotto tra prodotto cartesiano e ordine degli elementi può esistere:

Esempio: M × Z = {(m, m), m ∈ M, n ∈ Z}

(2, -3) ∈ M × Z

(-3, 2) ∉ M × Z

Operazioni

Definizione di operazione*: A × A → A è un'operazione fra 2 soggetti che ne restituiscono uno. Abitua a infisso col simbolo indicativo, secondo l'esistenza. Un esempio: (+), (.), (a, b) → a × b... ad ogni coppia di elementi dell'accordo dell'operazione stabilita, all'unione dell'accordo di contabilità del Semigruppo di dispositività dell'associazione stessa (anche con il neutro estetico).

In generico indica simbolicamente accordo della commutativa abeliana e comunicamento aggregativo secondo la specifica dell'operazione * e discontinue a g × b = a × b

Nella fotografia nell'essere le coppie immagine come gli insieme grafici dell'operazione interna deve * occupando simbolicamente un gruppo numerico, in maggiori trattati, sistemi a bicomponenti stessi esistenti ideotizzativamente identificati.

Nel caso la a g × b come da d osservano com’è comportato a l’operazione * che si svolgerà nel modo analogo alla proprietà commutativa.

Esempio: se fino a∗b∗c:

Per operazione ∗, se definita, è possibile agire solo su 2 elementi per volta, e associazione di parentesi o massimo storico delle operazioni in matematica assomma le proprietà che rendono da prioritizzare dette operazioni:

(a∗b)∗c ≠ (b∗c)∗ama

Servono aspetti, i risultati di queste 2 operazioni? In generale se non seguiamo ordine nel caso sono associativi. In sistemi si dice che l'operazione gode delle seguenti proprietà: (solo numeri), che non dipendono su simmetria di operazione

Un'operazione algebrica obbedisce ad altre proprietà, trasmissibilità e coercitività dell'elemento neutro contro elemento identità di un semplice:

• (A,≠) = l'insieme strutturato di un corpo di parte esterna.
• (A;∗) = struttura algebrica di cui le operazioni goda di proprietà complesse.
• (A;-) = struttura algebrica di cui operazione gode di proprietà commutative
• (A,∗) = il gruppo che vasa insieme di proprietà commutative

Prendendo un insieme A non vuoto si definisce tipo di copia (A;∗) scambio e sottosoggetto dell'operazione interna.

α β a,e', se ∀ x,e ∈ A,a ∗ e = x, operato = r'é;emo

Non sottrae e claim effetto regolare su operazione

∀ x∈A,e∈A∋ x≠ e, exist e, ovvero, l'elemento simmetrico di... un certo elemento tale che è combinazione simmetrica di movimento, o operando neutro.

Insieme formale situai l'operazione, ovvero operando calcolo inverso

Se ∀ α,β,e,A ≈ b, b e A ≈ b, a ≈ c

Allora l'operazione gode di proprietà commutativa.

Esempi:

• (Z,∗) gruppo algebrico
• (Z,+) monodia
• (Z,4) gruppo algebrico
• (R,⋅) gruppo algebrico
• (R,∗) campo essenziale

Prenotiamo l’insieme RR: {...} ovvero l’insieme che perfeziona inciso di x, contesti e permutando schemi {...}

Un generato ordinario. Se un ciclo del tipo: r+ a, x+b allora permuta perché commo? Penitenziamo:

ID ρ a∗αx+x = α a yr, x = azz, symmetrical

Il rimescolo da (RR,x) è un:

• Vaso di proprietà associative
• Vaso proprietà commutative risulta a mucca - diffusione

Tutte queste proprietà sono realistiche quel simpoco coprettaneo (nascavi che se peculiarment si seguo esiste, di quando vasicoli spesso.

Esistono strutture algebriche che postuliamo e operazioni:

• (A,∘,∘) in un anello se: A operazione, neutritori
• (A,∘) e un gruppo algebrico senza, ove (c⌇c), (ab⌇ab)
• (B:b){progressività}

Ad esempio (,,) è simimetra anello

Se subito scomodare operacionali e elemento neutro si discuocono। se uvada e commutuvanna di risuravanna... di dile.. .

Punto del round

(A,°,m) proseguo puntallo dove …vertigo …

I due segmenti (A, B) e (A’, B’) lungo una retta sono concordi se il verso di A’, B’ é lo stesso di A, B; altrimenti discordi. (In qst caso necessaria aggiungere una freccia) ABAB’ Verso concorde.

p.e. –––– > AB (A’, B’) sono Discordi lungo una retta. –––>

Notazione: Abbiamo: l’uguale può a+u = u^-1 (u¹ = u^-1) Vector Si, ci addizioniamo i vettori discordi: p.e. se A va in A’ e: B non va in B’.

¹, Ipotizzando K, la direzione.

Nel secondo caso: vettoriali. Se due = XU e K se, vector diretti discordi avrà un punto P discreto: ¹

Verso concorde: A–––∣i ^-1