Estratto del documento

Nozioni base di geometria analitica, relative a punti e rette

1) Distanza tra due punti

Assegnate le coordinate di due punti, la loro distanza si trova con la seguente formula:

d = √[(x - x )² + (y - y )²]

2 1 2 1

2) Coordinate del punto medio di un segmento

Assegnate le coordinate di due punti, il punto medio del segmento che li unisce ha

coordinate:

x = (x + x )/2

2 1

y = (y + y )/2

2 1

3) Equazione –implicita ed esplicita– di una retta

ax + by + c = 0 → forma implicita

y = -(a/b) x – c/b → forma esplicita

Ponendo:

–a/b = m

-c/b = n y = mx + n

Diviene:

4) Equazione esplicita della retta passante per l’origine degli assi cartesiani

y = mx

(n = 0)

5) Rette parallele agli assi cartesiani

y = k (mx=0, quindi y= n = k) → parallela asse x

x = k (y=0, quindi x = -n/m = k) → parallela asse y

6) Equazione assi cartesiani

y = 0 → asse x

x = 0 → asse y

7) Punti di intersezione di una retta con gli assi cartesiani

Retta: y = mx + n

Si pone: x = -n/m

y = 0 → → intersezione asse x

y = n

x = 0 → → intersezione asse y

8) Rette parallele e perpendicolari

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Sintesi

Geometria analitica di punti e rette

In questo appunto di matematica vengono illustrate le nozioni base della geometria analitica di punti e rette (in allegato è presente un documento che riassume tutto); vengono affrontati i seguenti argomenti:

  • Distanza tra due punti;
  • Coordinate del punto medio di un segmento;
  • Equazione - implicita e esplicita - di una retta;
  • Equazione esplicita della retta passante per l'origine degli assi cartesiani;
  • Rette parallele agli assi cartesiani;
  • Equazione assi cartesiani;
  • Punti di intersezione di una retta con gli assi cartesiani;
  • Rette parallele e perpendicolari;
  • Intersezione tra due rette;
  • Procedimento per calcolare la distanza di un punto da una retta;
  • Procedimento per calcolare la distanza tra due rette parallele.

Geometria analitica: i punti

1) Distanza tra due punti:

Assegnate le coordinate di due punti (

[math]x_1,y_1[/math]
), (
[math]x_2,y_2[/math]
), la loro distanza (d) si trova con la seguente formula:

[math]d = \sqrt{[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2]}[/math]

2) Coordinate del punto medio di un segmento:

Assegnate le coordinate di due punti (

[math]x_1,y_1[/math]
), (
[math]x_2,y_2[/math]
), il punto medio (
[math]x_m,y_m[/math]
) del segmento che li unisce ha coordinate:

[math]x_m = \frac{(x_1+x_2)}{2}[/math]
[math]y_m = \frac{(y_1+y_2)}{2}[/math]

Geometria analitica: le rette

3) Equazione di una retta:

Forma implicita:

[math]a \cdot x + by + c = 0[/math]

Forma esplicita:

[math]y = -\frac{a}{b} \cdot x – \frac{c}{b}[/math]

Ponendo:

[math]–\frac{a}{b} = m[/math]
[math]-\frac{c}{b} = n [/math]

Diviene:

[math]y = m \cdot x + n[/math]

4) Equazione esplicita della retta passante per l'origine degli assi cartesiani:

[math]y = m \cdot x ; (n = 0) [/math]

5) Rette parallele agli assi cartesiani:

Parallela asse x:

[math]y = k[/math]
(
[math]m \cdot x=0[/math]
, quindi
[math]y= n = k[/math]
)

Parallela asse y:

[math]x = k[/math]
(
[math]y=0[/math]
, quindi
[math]x = -n/m = k[/math]
)

6) Equazione assi cartesiani:

Asse x:

[math]y = 0[/math]

Asse y:

[math]x = 0[/math]

7) Punti di intersezione di una retta con gli assi cartesiani:

Consideriamo la retta:

[math]y = mx + n [/math]

Si pone:

[math]y = 0 [/math]

E si ottiene l'intersezione con l'asse x:

[math]x = -\frac{n}{m} [/math]

Se si pone:

[math]x=0[/math]

Si ottiene l'intersezione con l'asse y:

[math]y=n[/math]

8) Rette parallele e perpendicolari:

Si considerano le seguenti rette:

[math]y = mx + n[/math]
[math]y = m’x + n’[/math]

Se

[math]m = m’[/math]
allora le rette sono parallele.

Se

[math]m· m’ = -1[/math]
allora le rette sono perpendicolari.

9) Intersezione tra due rette:

Si considerano le seguenti due rette:

[math]y = mx + n [/math]
[math]y = m’x + n’[/math]

Il punto di intersezione si determina mettendo a sistema le due equazioni:

[math]\begin{cases} y = mx + n \\ y = m’x + n’ \end{cases}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione dei sistemi di equazioni vedi anche qua

10) Procedimento per calcolare la distanza di un punto da una retta:

Consideriamo un punto P(

[math]x_P,y_P[/math]
) nel piano cartesiano e una retta
[math]y = mx + n[/math]
; si vuole calcolare la distanza tra il punto e la retta.

La distanza si costruisce tracciando la retta perpendicolare alla retta data e passante per il punto P, la distanza di tale punto sulla retta con il punto P è proprio la distanza punto retta che si vuole trovare; per determinare il procedimento seguiamo il percorso che abbiamo descritto per costruire la situazione.

  • Determiniamo una retta perpendicolare a quella assegnata e passante per il punto P. Due rette perpendicolari sono tali se:
    [math]m \cdot m’ = -1 [/math]
    Da tale relazione noto m posso trovare m’ cioè la pendenza della retta su cui giace la distanza tra la retta e il punto.
  • La retta su cui giace la distanza che si vuole trovare ha quindi pendenza m’ e passa per il punto P(
    [math]x_P,y_P[/math]
    ). Un punto appartiene ad una retta se le sue coordinate, inserite nell'equazione della retta, la soddisfano. Deve cioè risultare:
    [math]y_P =m’x_P +n’[/math]
    Da tale relazione posso trovare n’.
  • Una volta determinata questa retta, mettendo a sistema la sua equazione con quella della prima, si determina il loro punto di intersezione:
    [math]C (x_c, y_c)[/math]
    [math]\begin{cases} y = mx + n \\ y = m’x + n’ \end{cases} [/math]
  • Determinando la distanza tra questo punto e il punto assegnato P, si ricava la soluzione dell'esercizio:
    [math]d = \sqrt {[(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2]}[/math]

11) Procedimento per calcolare la distanza tra due rette parallele:

Si considerano le seguenti due rette:

[math]y = mx + n [/math]
[math]y = mx + n’ [/math]

Essendo parallele, le due rette hanno il medesimo coefficiente angolare.

Occorre determinare la retta perpendicolare ad entrambe:

Due rette perpendicolari sono tali se:

[math]m \cdot m’ = -1 [/math]

Da tale relazione posso determinare m’.

Il termine noto k, può avere invece qualsiasi valore, perché la retta perpendicolare alle due rette può trovarsi in ogni punto su di esse e inoltre la distanza tra le due rette perpendicolari è sempre la stessa indipendentemente dal punto in cui ci determina la distanza.

Si ottiene quindi una retta perpendicolare alle prime due che ha la seguente espressione:

[math]y=m’x+k[/math]

Mettendo a sistema questa retta con la prima, si determina il loro punto di intersezione, a meno di k.

[math]\begin{cases} y = mx + n \\ y = m’x + k \end{cases}[/math]

Mettendo poi a sistema la retta perpendicolare anche con la seconda, si determina anche il loro punto di intersezione, a meno di k.

[math]\begin{cases} y = mx + n’ \\ y = m’x + k \end{cases}[/math]

Determinando la distanza tra questi due punti applicando la seguente formula, si ricava la soluzione dell'esercizio (a meno di k):

[math]d = \sqrt {[(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2]}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle rette parallele e perpendicolari vedi anche qua

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