Matematica PNI

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2007

Seconda prova scritta

Y557 - Esame di Stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Piano nazionale informatica

Tema di: matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario.

Problema 1

Sia a un numero reale maggiore di zero e sia g la funzione definita, per ogni x ∈ R, da:

g(x) = a^x + a^−x, a ≠ 1.

1. Si dimostri che, se a > 1, g è strettamente crescente per x > 0 e strettamente decrescente per x < 0.

2. Posto a = e, si disegni il grafico della funzione f(x) = e^x + e^−x e si disegni altresì il grafico della funzione f(x).

3. Si calcoli:

   ∫₀^t dx / f(x); successivamente, se ne trovi il limite per t → ∞ e si interpreti geometricamente il risultato.

4. Verificato che il risultato del limite di cui al punto precedente è π/4, si illustri una procedura numerica che consenta di approssimare tale valore.

Problema 2

Si considerino i triangoli la cui base è AB = 1 e il cui vertice C varia in modo che l’angolo ACB si mantenga doppio dell’angolo ABC.

1. Riferito il piano ad un conveniente sistema di coordinate, si determini l’equazione del luogo geometrico γ descritto da C.

2. Si rappresenti γ, tenendo conto, ovviamente, delle prescritte condizioni geometriche.

3. Si determini l’ampiezza dell’angolo ABC che rende massima la somma dei quadrati delle altezze relative ai lati AC e BC e, con l’aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato in gradi e primi (sessagesimali).

4. Si provi che se ∠ABC = 36° allora è AC = (√5 − 1)/2.