Funzioni vettoriali e campo vettoriale

Revisionato il 25/07/2026

di .aaaraS

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Appunti con dimostrazioni ed esercizi su: funzioni vettoriali di una variabile (lunghezza di un arco di curva in coordinate polari), campo vettoriale o campo di forze (linee di campo, campo …

Esame Matematica 1

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Bazzoni Silvana

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2022-2023

68 pagine

Appunto

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Funzioni vettoriali di una variabile reale

Funzioni reali di una variabile reale f: I → ℝ f(x) x ∈ I
Funzioni reali di due variabili reali f: D → ℝ f(x,y) (x,y) ∈ D
Funzioni reali di tre variabili reali f: R → ℝ f(x,y,z) (x,y,z) ∈ R³

Funzione vettoriale di una variabile reale

ρ funzione vettoriale di una variabile reale

ρ: I → ℝ³

ρ(t) = (x(t),y(t),z(t))

I ⊂ ℝ

t ∈ I

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k t ∈ I

Equazione vettoriale della curva

c: { x = x(t) y = y(t) z = z(t) }

Equazioni parametriche della curva C

Δr = P(t) P(t + Δt)

P(t) + Δr = P(t + Δt)

Δr = r(t + Δt) - r(t)

Δr_t = velocità media nell'intervallo Δt^Δt

Se lim_Δt→0 Δr_t = v(t)

Vettore velocità

Vettore tangente a c in P(t)

v(t) vettore derivato

c: { x = x(t) y = y(t) z = z(t) }

v(t)

x_e(t)

v(t) = { dx/dt dy/dt dz/dt }

x_e(t) = a/e(t) dt

M(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

x_e(t) = a/e(t) dt

x_e(t) è velocità scalare

Funzioni vettoriali di una variabile reale

Funzioni reali di una variabile reale f: I → &Ropf; f(x) x ε I
Funzioni reali di due variabili reali f: D → &Ropf; f(x, y) (x, y) ε D
Funzioni reali di tre variabili reali f: &Ropf;³ → &Ropf; f(x, y, z) (x, y, z) ε &Ropf;³

Funzione vettoriale di una variabile reale

ρ: I → &Ropf;³ t ε I

ρ(t) = (x(t), y(t), z(t))

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k t ε I

Equazione vettoriale della curva x = x(t) y = y(t) z = z(t)

Equazioni parametriche della curva C

Δr = P(t)P(t+Δt)

r(t) + Δr = r(t + Δt)

Δr = r(t + Δt) - r(t)

Δr_m = retta secante e P(t)

Se lim_Δt→0 Δr/Δt = r'(t)

vettore velocità ≡ vettore derivato

vettore tangente a e in P(t)

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

r'(t) = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k

x_t(t) = a_t(t) = (dv(t)/dt)

Esempio

Esempio:²}z = x² ₁x+y=2

Determinare eq parametriche di e e il vettore direttrice₂{x=t y=2-t z=t t ∈ℝ

n(t){1 -1 2t

Esempio

Esempio:

Parametrizzare la curva e_{x+y=1²z=x^{-x ℓ}y²}

x=t y=1-t _{z=√4^{4-t²2t=2 ℓ 2t-2t²}}

Esempio

Esempio:²}z=x²y² _2x-6y²=1

Parametrizzare piano_{2x-y²=1 {}x²y²^{z {y-2x=-1 y^x²y²}_{(x-²)²⁺(y+²)-_6=-1}

( _x-1²+(y+²) ) ²^₋4

z=x²y²

x-1=2 cos t y+²=2_{sin t}

z=2x2^zy²* x=2_{cost 2}y=2^{sin t}z=1+6_{cos t}2t⁴cos t6 _{sin ^{8 sin t}}

r(t_i)=x(t_i)i + y(t_i)j + z(t_i)k

t ∈ [a_i, b]

Curva liscia e lunghezza

Sia ℓ una curva liscia cioè

d_r = (dr(t)) continua e ≠o in ogni punto

r(t) = t²i + t³j

t ∈ [0,1]

x = t²

y = t³

y² = x³

y = √(x³)

x ≥ 0

dr(t) = ⟨ 2t ⟩

dt 3t²

r(0) = 0 e non è liscia

Se ℓ è liscia la lunghezza di ℓ è calcolabile

P(t) t ∈ [a,b]

lim tj=ti+1 = Δti

Δi = ti+1- ti

Δrei

Se ℓ è liscia

Se esiste lim Σ |Δℓki| = lunghezza di ℓ

dt -> 0

ℓ =(lim Σ |Δk| ), Δt =

dt -> 0

|r(b)| - lim |r(b)| - |dr |dt

∫ |r(t)| dt = lunghezza ℓ da P(a) a P(b)

y = f(x)

x ∈ [a,b]

ℓ x' + f(x) dt |x' +

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