Funzioni

Funzioni, immagini e controimmagini

Def.: domf ⊆ X −−⟶ Y

Dato x ∈ domf, l’immagine di x tramite f è l’elemento y = f(x)

A ⊆ domf

f(A) = {y = f(x), x ∈ A} ⊆ imf ⇒ immagine di A tramite f

Se A = domf ➝ f(A) = imf

Def. Dato y ∈ Y è detta controimmagine di y tramite la funzione f l’insieme

f⁻¹(y) = {x ∈ domf : f(x) = y} ⊆ domf

Sia B ⊆ Y, controimmagine di B tramite f è

f⁻¹(B) = {y ∈ B} = {x ∈ domf : f(x) ∈ B} se B ⊆ Y

Esempi su immagine e controimmagine

ES

f(x) = x ≥ 2

f : ℝ → ℝ

domf = ℝ , imf = [−1, ∞]

Se B' = (−2, 4), f⁻¹(B') = Ø perché B' ∉ imf

ES

I1 ∪ I2 ∪ I3

B = [0, +∞)

f⁻¹(B) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞) {x ∈ ℝ: |x| ≥ 1}

(x, y)

x ∈ f⁻¹(c) ≤ y il controimm.

ES

• A ⊆ imf ➝ f(A) ⊆ imf

f⁻¹(f(A)) ⊇ A ⊆ domf

ES

f(x) = x²

f : ℝ → ℝ

domf = ℝ imf = [0, +∞)

A = [0, 1] ⊆ domf

f(A) = [0, 1] ⊆ imf

Definizioni ripetute e notazioni

Def. dato  x ∈ dom F, l'immagine di  x  tramite  F  è l'elemento  y=f(x)

A ⊆ dom F

f(A)={y=g(x), x∈ A} ⊆ im F ⇒ immagine di A tramite f

Se  A=dom f ⇒ f(A)=im f

Def. Dato  y ∈ Y è detta controimmagine di  y  tramite la funzione  f l'insieme

f^-1(y)={x∈ dom f: f(x)=y}⊆ dom f

Sia  B ⊆ Y, controimmagine di  B  tramite  F è

f^-1(B)={x ∈ dom F: f(x)∈ B}⊆ {x∈ dom F: f(x)∈ B}

Esempio

g(x)=x²-2≥-2

f:_ℕ→_ℝ

dom F=ℝ, im F=[-1,+∞]

Esempio

• B=[0,1]

f^-1(B)= {x∈ dom F: f(x)∈ B=[0,+∞}={x∈ ℝ: -2≥0}= {x∈ ℝ: |x|≥1}

Se  B'=[-2,1), f^-1(b')=∅ perché B'≠ im f

Esempio

A⊆im f ⇒f(A)⊆im F

Esempio

F (f(a)) ⊇ A

f^-1 (f(a))⊇ A⊆ dom f

Esempio

f(x)=x²

f:_ℝ→_ℝ

dom F=ℝ

im F=[0,+∞)

A=[0,1]⊆ dom F

f(A)=[0,1]⊆ im F=> f^-1

N.B. Se f(x)=ax + g (funzioni affini) (funzioni lineari -> g=0) ➡ (f^-1(f(a))=a ma vedremo che l'uguaglianza vale anche per altre funzioni (invertibili)

Esercizio con logaritmo

Es. Sia f(x)=log (2-|x|) determinare f^-1((-∞,0])

domf=[-2,2]

2-|x| > 0

2-|x| > 0

2-x > 0

domf

x < 2

2-x > 0

x < 2

|x| < 2

f^-1((-∞,0])=

Funzioni suriettive, iniettive e bijettive

Def. Sia f: domf ⊆ X -> Y

f: suriettiva se imf -> Y

f(x)=x² domf=ℝ | imf=[0,+∞)

Quando X=ℝ ->suriettiva

pongo f^-1(y)=

N.B. dominio deve essere uguale all'

Def.: domf ⊆ X → Y

f è iniettiva se ∀x₁, x₂ ∈ domf, x₁ ≠ x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂)

Se li prendo uguali f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂

x₁

x₂

cioè ∀y ∈ imf ∃! x ∈ domf t.c. f(x) = y

f: X → Y

domf

imf

f bijettiva (biiezione tra X e Y) => è iniettiva e suriettiva

corrispondenza biunivoca tra X e Y

F: ℝ → ℝ

f(x) = mx + q m ≠ 0 domf = ℝ imf = ℝ

f è biettiva (suriettiva e iniettiva)

F dispersivi

F(-x) = -F(x)

grafico simmetrico rispetto O

f(x) = x²

F: ℝ → ℝ

domf

F NON è iniettiva

MA F_A₁: (-∞, 0] F_A₂: [0, +∞)

sono iniettive

Def.: domf ⊆ ℝ → ℝ

As domf F iniettivo su A se

F_A: A → ℝ è iniettiva

Operazioni su funzioni

f: domf ⊆ ℝ → ℝ

g: domg ⊆ ℝ → ℝ

(⍺f + βg)(x) = ⍺f(x) + βg(x) ∀x ∈ domf ∩ domg

∀⍺, β ∈ ℝ

es: f(x) = √x g(x) = cosx

(f + g)(x) = 3√x + 4cosx ∀x ∈ domf ∩ domg = {x ∈ ℝ: x ≥ 0}

(f ○ g)(x) = f(g(x)) ∀x ∈ domf ∩ domg

(f / g)(x) = f(x) / g(x) ∀x ∈ domf ∩ domg {x ∈ ℝ: g(x) ≠ 0}

N.B.

f(x) = A

∀x ∈ domf = ℝ

f: ℝ ⟶ ℝ

x ⟶ x – 2

( 1/g ) ( x ) = 11/g(x)

∀ x ∈ dom g { x : g(x) = 0 } forma reciproca di g

Def. La forma reciproca è t.c. g(x)· 1/g(x) = 1

∀ x ∈ dom g { x : g(x) = 0 }

f(x) = x² – 4

domf = ℝ, Imf = [-4,+∞)

funz. reciproca di f

( 1/f ) ( x ) = 1

x²–4 ≥ 0

f MA(-) x² + 4

Non è invertibile!

Funz. elementari:

g(x) = e^x

f(x) = |x|

Composizione di funzioni

domf / Imƒ domg / Img (g∘f)(x) := g(f(x))

dom (g∘f): {x ∈ domf : f(x) ∈ domg } ⊆ domf

che hanno come immagine elementi che cadono nel domg

g∘f : dom g∘f ⊆ X ⟶ ℤ (g∘f)(x) : g(f(x))

x ∈ dom (g∘f) ⟺

x ∈ dom f f(x) ∈ dom g

g∘f ≠ f∘g g([(f(x)) ≠ f(g(x))

f(x) = x – 2

domf = ℝ

g(x) = 1x+1

domg = ℝ \ { –1 }

dom (g∘f)(x) = {x ∈ dom f = ℝ : f(x) ∈ dom g }

= {x ∈ ℝ, x² – 4 ≠ 1 }

= {x ∈ ℝ : x² ≠ 0 }

Devo combinare due domini!

far ordinare (ex)

verifica di (gx)

(g∘F)(x)=g(F(x))=g(x²-1)=

=¹/_x²-1+1=¹/_x²

g(t)=¹/_t+1

dom(f∘g)=ℝ\{-4}

(f∘g)(x)=F(g(x))=F(¹/_x+4)=

=¹/_(¹/x+4)=

=[¹/_x+4]^-2=¹/_(x+4)²-2

F(t)=t²-1

t=¹/_x+1

Funzione inversa

Sia f:domF

Iniettivo<=>Fimitivus

Def. f:domF

domf=1mf

1mf=domf

F^-1

associa

N.B.

Sia finiettivo

1)(f^-1(fg))(x)=x

N.B.

Sia Fimpetrabile^A

2)F(f^-1(y))=y

(f∘f^-1)(y)

(F∘f^-1)=id_1mf

ES f(x)=x²

(1/f)(x)=¹/_x²

f^-1[R]=∅

MA → f non è invertibile x

che non è iniettiva

GRAFICO: come si passa da f(f) a f^-1(f^-1)? → Con una simmetria rispetto l'asse y=x

ρ ε ∪

f(f) (x, f(x)) x ε domf ↕ (f^-1(y), y)

M(f^-1) = { (y, f^-1(y)) | y ε domf^-1 = imf }

• Invertire le coordinate significa fare una simmetria rispetto l'asse y=x

N.B. f(x) ∀xε domf f^-1(x) ∀xε domf^-1 =imf

ES f(x)=x^m m dispari

f(x)=x³ invertibile ammR

f^-1(y) ³√y Grafico tipo

ES f(x)=x² non è invertibile su R

[-∞,o] [o, +∞] sono invertibili x x ε [-∞,o] ↕ x²=y [o, +∞] => Rx x ε [o,+∞] ↕

f^-1(x)=√x ∀xε [o,+∞]

ES

f(x)=a^x con a>0, a≠1

N.B.

log_xy = log_ex = ln x

Funzioni limitate, massimo e minimo

Sia F: domF⊆R→R

Def. F funzione limitata se infF e^-supF∈R, inf. limitato. F non limitato se almeno infF e^-supF limitato

• Inf_x∈domFF(x):=Inf(imF)∈R (con completezza di R)
• Sup_x∈domFF(x):=Sup(imF)∈R se f∈sup. lim
• F è limitata ⇔ f limitato sup. e inf.⇔ infF è un insieme limitato⇔ ∃c₁, c₂∈R (c₁≤c₂) t.c. c₁≤F(x)≤c₂ ∀x∈domF⇔ ∃c∈R t.c. |f(x)|<c ∀x∈domF

Graficamente

Def. M∈R si dice massimo assoluto (o globale) di F se M=sup_x∈domFF(x)={F(x):x∈domF}

Equivalentemente M∈R si dice massimo assoluto (o globale) di F se ∃x_M∈domF t.c. F(x_M)=M e (f(x_m)≥f(x) ∀x∈domF

• Noi: x_m∈domF punto di massimo assoluto o globale (x)
• M=F(c)∈imF massimo assoluto o globale (y)

Def. m∈R minimo assoluto (globale) di F

Se m=min(imF)={inf_x∈domFminF(x) x∈domF}⇔ ∃x_m∈domF t.c. F(x_m)=m e f(x_m)≤f(x) ∀x∈domF

x_m∈domF punto di min assoluto (o globale)

F(x_m)=imF minimo assoluto o globale

Esempi di funzioni limitate

ES

F(x)=cosx è limitata

|F(x)|≤1 x_m=m, π+2 k π, k∈Z

m=±1, M±±

x_M=2kπ

ES

F(x) = ¹/_{4 + x²}

dom F = ℝ

im F = (0, 1/4]

insieme limitato => F simmetrico

M = max_{x ∈ ℝ} F(x)

sup F(x)

x_c ε ℝ

x_c = 0

m = min_{x ∈ ℝ} F(x)

im F F(x) = 0

x ∈ ℝ

N.B. punti x_m/_xM, se l₁ stanno sull'asse x

Funzione parte intera

ES

funzione parte intera

F: ℝ → ℝ

F(x) = x - _xmax {z ε ℤ : z ≤ x}

è il + grande intero che precede x

[³/₂] = 1, [-3] = -3, [-⁴/₃] = -2

dalla def.

x - 1 < _x ≤ x

F: ℝ → ℤ

im F ⊆ ℤ

F non è limitato sup im

im F(ℝ)

F non ha max/min

min F(ℝ)

non ha max/min

^H(x) = ^x-_[x]

x > 0

M(_x)

e la parte decimale (x positivi)

M (3,3) =3,3 - _3,3= 0,3

M(-⁵/₃) = -⁵/₃-1 = -¹/₃= -(1- ⁴)= ²/₃

min M(x) = 0

M = max M(x) != sup M(x) = 1

f: dom F

im F = [^0,1], f è limitata

f è periodica di periodo 1

F(x + ρ) = F(x)

punti di minimo x_m sono tutti gli interi

Def. F sup (im F) limitata sv dom F se

F/a sup (im F) limitata

Intorni e punti di massimo o minimo locale

Def. Sia x_c ε ℝ

I_δ(x_c) = {x ε ℝ : |x-x_c| < δ

intorno aperto centrato x_c di ragione δ

A volte si può trovare=> I(c,x)

F: dom (f, ⊆ (dom f) → ℝ

x₀ ε dom F

dice punto di massimo locale o relativo se ∃ I(x₀

t.c. ∀ x ε I(x₀) - {x₀}, risulta F(x₀) ≥ F(x)

F(x₀) si chiama massimo o minimo locale e relativo di F

N.B. quando le disuguaglianze sono strette (cioè F(x) < F(x) oppure F(x₀) < F(x)∀ x ε dom F ∩ I(x₀)

x₁ = punto di max assoluto (=> anche relativo); f(x₁) max assoluto

x₂ = punto di min relativo stretto; f(x₂) min relativo

x₃ = punto di max relativo stretto

x₄ = punto né di min né di max rel.

x_u punto min locale stretto

f(x_u) < f(x) ∀ x ∈ I

Monotonia delle funzioni

Def. 1 f crescente/debolmente

x₁, x₂ ∈ dom f, x₁ < x₂ => f(x₁) ≤ f(x₂)

f crescente (anche costante)

f sarà detta strettamente crescente/debolmente crescente se

x₁, x₂ ∈ dom f, x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂)

Def. 2 f decrescente

x₁, x₂ ∈ dom f, x₁ < x₂ => f(x₁) ≥ f(x₂)

Esempio f(x) = a^x a > 0, a ≠ 1

a^x a > 1 strett. crescente

a^x 0 < a < 1 strett. decrescente

f(x)=e^x

Def. f monotona (strettamente monotona) se f è crescente o decrescente (se f è strett. cresc. o strett. decr.)

Proprietà generali

• La somma di 2 funzioni (+, -) con la stessa monotonia ha la stessa monotonia che è stretta quando almeno uno dei 2 addendi è strettamente monotono. F(x)=log x+x g(x)=e^x g limitato => g∘f limitato (dom g∘f ⊆ f∘g) F(x)=x² g(x)=sin x N.B. se f limitato e g no cosa posso dire di g∘f? NO!! non è limitata=> un controesempio: non è detto, porto allora un controesempio f periodica di periodo p =>dom f=IR periodica di periodo p=2π∀x∈IR f(x+2π)=sin x g(x)=x²

4) f monótona su A ∈ dom_f, g monótona su f(A) (≅ dom_g)=> g∘f monótona su A

↳ strett. monótone se f e g lo sono entrambe.

Regole

f

g

g∘f

come la regola dei segni

↔ 5) caso 4 f crescere su A, g: ℝ → ℝ cresc.

x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) ⇒ g(f(x₁)) ≤ g(f(x₂))

cosa vuol dire? x₁, x₂ ∈ A x₁ < x₂ abbiamo ottenuto che g(f(x₁)) ≤ g(f(x₂))

(g∘f)(x₁) < g(f(x₁)) ≯ f g(f(x₁)∨∨∨∨ g(f(x₂)) = (g∘f)(x₂)

y₁ crescere su A

f crescente su A

w.e. –∞ < x₂ < y₁

crescere su ℝ y₁ < y₂ = y₁

y_x = y₂

2) f ⧈/ g/_/

x₁, x₂ ∈ A , x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) ⇒ g(f(x₁)) ≥ g(f(x₂))

cioè (g∘f)(x₁) ≥ (g∘f)(x₂)

2) f strett. g d strett

x₁, x₂ ∈ A , x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) ⇒ g(f(x₁)) > g(f(x₂))

cioè (g∘f)(x₁) ≥ (g∘f)(x₂)

N.B. Studiare la monotonia di f vuol dire cercare i suoi intervalli di monotonia (massimali)

_es. f(x) =| x |

intero nel suo dominio

[0, +∞) e (−∞, 0 ] sono i suoi intervalli massimali di monotonia,

cioè:

(f₀, +∞) è cresc. (arresti.)

(f_−∞, 0] è decr. (arresti.)

• F è crescure (sottinteso su dom F₂ ℝ ∖ {a₁})? F non è decresc. x₁ < x₂ ma F(x₁) < F(x₂) F non è crescure x₃ < x₄ f(x₃) > F(x₄) x₃, x₄ ∈ dom F₂
• Gli intervalli di monotonia massimali sono I_A = (-∞, a₁), I_B = (a₁, b), I_C = (b, +∞) F|_I1, F|_I2, F|_I3 monotone (nel nostro caso strett. crescure) ERRORE F strett. cresc su I₁ ∪ I₂ ∪ I₃ = NO! sovrappone sotto il dominio di F => è corretto scrivere I₁, I₂, I₃ F è strett. cresc. PROP. F strett. monotona => F è iniettiva Se ^{_F invertibile (ass. F-1 ha la stessa monotonia di F)} F iniettiva ≠> F strett. monotona controesempio F(x)= { x 0 ≤ x ≤ 1 3-x 1≤ x F è iniettiva su [0,2] ma non è monotona