Funzioni di due variabili, Analisi matematica II

Funzioni di 2 variabili

Definizioni su insiemi in R²

Def. Sia A un insieme in R² e P = (x₀, y₀), Q = (x_p, y_p), R = (x_r, y_r) punti di R².

• Si dice che P₀ è un punto interno ad A, se esiste un raggio δ tale che l'intorno circolare di P₀ di centro δ e raggio δ è contenuto in A.
• Si dice che Q è un punto esterno ad A se Q è intorno al complementare di A, ovvero esiste un raggio δ > 0 per cui l'intorno circolare di P₀ di centro Q non interseca A.
• Un punto R si dice di frontiera se non è né interno né esterno, cioè se tutti gli intorni di R contengono punti di A e punti che non sono in A.
• Un punto P₀ = (x₀, y₀) si dice di accumulazione per A se, comunque preso un suo intorno Iδ, esiste almeno un punto di Iδ diverso da P₀ che appartiene ad A. Se un punto non è di accumulazione per A, si dice isolato.

Def: Sia A un insieme di R².

• A si dice aperto se qualunque punto P ∈ A esiste δ > 0 tale che l'intorno Iδ è centrato in P, è di raggio δ ed è contenuto in A.
• A si dice chiuso se il suo complementare è aperto.
• A detta la chiusura di A, ovvero l'unione di A e dei suoi punti di accumulazione. La chiusura di A è un insieme di più di A e il più piccolo insieme chiuso che contiene A. ⊤ coincide con l'unione di A e dei suoi punti di frontiera.

Funzioni di 2 variabili

Def: Sia A un insieme in ℝ² e P:

• Si dice che P₀ è un punto interno ad A, se esiste un raggio δ tale che l’intorno circolare di P₀ di raggio δ è contenuto in A.
• Si dice che Q è un punto esterno ad A se Q è interno al complementare di A, ovvero esiste un raggio δ₀ per cui l’intorno circolare di Q di centro Q non interseca A.
• Un punto R si dice di frontiera se non è né interno né esterno, cioè se qualunque intorno di R contiene sia punti di A che punti che non sono in A.
• Un punto P₀ = (x₀, y₀) si dice di accumulazione per A se comunque preso un suo intorno I₀ esiste almeno un punto di I₀ diverso da P₀ che appartiene ad A; se un punto non è di accumulazione per A, si dice isolato.

Def: Sia A un insieme di ℝ².

• A si dice aperto se comunque preso P ∈ A esiste δ₀ tale che l’intorno I di P centrato in P e di raggio δ₀ è contenuto in A.
• A si dice chiuso se il suo complementare è aperto.
• A detta la chiusura di A, ovvero l’unione di A e dei suoi punti di accumulazione. La chiusura di A è un insieme chiuso di A; è il più piccolo insieme chiuso che contiene A. A coincide con l’unione di A e dei suoi punti di frontiera.

A si dice limitato se esiste un raggio r, anche molto grande, tale che l'intorno I_r(0) centrato nell'origine e di raggio r contiene A.

A si dice connesso se non ci sono due aperti disgiunti, M e N, intersezioni A vuoti e non vuoti, la cui unione fa A. In caso contrario A si dice sconnesso.

Definizione di limite di 2 variabili

lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x,y) = l ⇔ ∀ ξ > 0 ∃ δ = δ_ε, (x₀,y₀) > 0 : d((x,y), (x₀,y₀)) < δ ⇒ |f(x,y) − l| ≤ ε

Se per una sola variabile: lim_h→0 &frac;{f(x₀+h)−f(x₀)}{h} = a = 0 dove h = x − x₀.

Allora per 2 variabili: lim_{(h₁,h₂)→(0,0)} F &left(parenthesis; &frac;(x₀+h₁,y₀+K)−f((x₀,y₀)−ah₁−bh₂)=0{h₁ |h₂|}&right)|(h₁,h₂)| = d((h₁,h₂),(0,0)) = √. l² + n²

Chi sono a e b?

Se h₂ o h₁ = 0: lim_h→0 &frac;{f(x₀+h,y₀)−f(x₀,y₀)−bhn}{h} = a ⇔ = 0 fₓ = f_x(x₀,y₀).

Se h₁ o h₂ = 0: lim_n→0 &frac;{f(x₀,y₀+k)−f(x₀,y₀)−bik}{n} = b = 0 b = f_y(x₀,y₀).

Differenziabilità

Def: F: A ⊂ ℝ² → ℝ, A aperto, (x₀, y₀) ∈ A.

f si dice differenziabile in (x₀, y₀) se ∃ f_x(x₀, y₀), f_y(x₀, y₀): il vettore [f_x(x₀, y₀), f_y(x₀, y₀)] ≡ ∇f(x₀, y₀), cioè gradiente di f in (x₀, y₀).

lim_h→(0,0) [f(x₀+h, y₀+n) - f(x₀, y₀) - ∇f(x₀, y₀) · (h, n)] / ‖(h, n)‖ = 0

Es: f(x, y) = { x·y / x² + y²; 0 } (x, y) ≠ (0, 0) (x, y) = (0, 0).

Int. l.a. ∇f(0, 0) = (0, 0).

lim_h→(0,0) = lim_h→(0,0) h²

lim_h→0 mhk / [h + πm²]_{½ π 3/2} → { 100m≠0 0 m≠0 } lim→ ∞_m→0

Prop: Se f è differenziabile in (x₀,y₀) ⇒ f si continuo in (x₀, y₀).

Dim h: x-x₀, h→y-y₀.

lim f(x, y) = lim f(x₀+t, y₀)+f_x(x₀, y₀)(x-x₀)+ f_y(x₀, y₀)(y-y₀)+Q(x₀, y₀) = f(x₀, y₀)∇f(x₀, y₀) diff.cont. (x₀, y₀).

Differenziabilità in (x₀,y₀) ↔ C¹ Der. diff. totale.

Continuità in (x₀,y₀) ∃D_F(x₀,y₀).

Quando si dice che una funzione è differenziabile?

Teorema (Differenziabile totale).

f : A ⊆ ℝ² → ℝ, A aperto, (x₀,y₀) ∈ A ∃∇f(x,y) ∀x,y ∈ A.

Se f_x(x,y) e f_y(x,y) sono continue in (x₀,y₀) ⇒ f è differenziabile in (x₀,y₀).

Derivate successive

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)h + f''(x₀)h² + α(h²).

f ∈ C² x₀ : f'(x₀) = 0².

f(x) - f(x₀) = 1/2 f''_x0 h² + α(h²).

Parametrica - Derivazione per classe / funzioni composte

Sia f : ℝ → ℝ, F(t) = f(x(t), y(t)) dove x : ℝ → ℝ².

y(t) = (x(t), y(t)); f : ℝ² → h ∈ C¹, γ ∈ C¹ ⇒ F(t) = f_x(x(t), y(t)) x(t) + f_y(x(t), y(t)) y'(t).

Caso particolare y(t) = (x₀+t h / y₀) ⇒ ℕF(t) = f_x(x₀+th, y₀)h + oF(t) = f_x(x₀+th, y₀+t k)F(t) = f_x(x₀h, y(t), y₀ + t y(t)) + oF(t) = f_x(x₀+h, y+tk) / f_x(x₀, y₀)h.

Formula di Taylor per f

f(t) = f(0) + f'(0)t + 1/2 f''(0)t^2 + o(t^2).

f(x + t h, y + t k) = f(x, y) + [f_x(x, y)h + f_y(x, y)k] t + 1/2 [f_xx(x + θ t h, y + θ tk)h² + 2 f_xy...

Tema di Schwartz

f: A ⊂ R^2 → R, aperto. ∈ 3 f_xx, f_xy, f_yx, f_yy in A e le derivate sono continue in (x₀, y₀) ∈ A ⇒ D_xyf(x₀, y₀) = f_yx (x₀, y₀).

f(i) = f_xx(x₀, y₀)h² + 2 f_xy(x₀, y₀)h k + f_yy(x₀, y₀)k² se ε = 1.

f(x + h, y + l) = f(x, y) + f_x(x, y)h + f_y(x, y)l + 1/2 [f_xx(x, y)h² + 2 f_xy(x, y)h l + f_yy(x, y)l²] + o(||h, l||²),

f(x, y) = f(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)(x-x₀) + f_y(x₀, y₀)(y-y₀) + 1/2 f_xx(x₀, y₀)(x-x₀)² + 2 f_xy(x₀, y₀)(x-x₀)(y-y₀) + f_yy(x₀, y₀)(y-y₀)² o((x-x₀), (y-y₀))².

Se (x₀, y₀) è un punto critico → D[f(x, y) - f(x₀, y₀) = 1/2 [f_xx(x₀, y₀)(x-x₀)²+ 2 f_xy(x₀, y₀)(x-x₀)(y-y₀) + f_yy(x₀, y₀)(y-y₀)²]]