Funzioni a due variabili

Calcolo II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 3 — 4 novembre 2010

© — 1) Sia f la funzione di due variabili definita da

α|xy| 6 per (x, y) = (0, 0),
 2 2(senx) + 2(seny)
f (x, y) = 0 in (0, 0) ≥ dove α 0 è un parametro reale fissato.

Determinare l’insieme di definizione di f. Inoltre determinare per quali valori di α la funzione è continua in 0, per quali valori è derivabile in 0, per quali valori è differenziabile in 0.

Esercizio 2

2§ → — 2) (i) Siano f, φ, g: tre funzioni, supponiamo che f e g siano differenziabili nell’origine 0 con R R ≤ ≤ f (0) = g(0), e che si abbia f (x, y) φ(x, y) g(x, y) per tutti gli (x, y).

Dimostrare che allora anche φ è differenziabile in 0 e che df (0) = dφ(0) = dg(0).

n → (ii) Siano f, g: due funzioni, f differenziabile nel punto 0 con f (0) = 0, g soltanto continua. R R

Dimostrare che il prodotto f (x)g(x) è differenziabile in 0 e d(f g)(0) = g(0)df (0).

Esercizio 3

2© → → — 3) Siano u, v: due funzioni. Possiamo allora definire una funzione f: ponendo R R C C f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).

Dimostrare che se esiste il limite in z = x + iy

0 0 0
−f (z) f (z )
00
f (z ) = lim
0 −z zz→z 00

allora le due funzioni sono derivabili nel punto (x , y ) e devono valere le relazioni di Cauchy-Riemann nel

0 0
punto (x , y ), ossia
0 0 −DD u(x , y ) = D v(x , y ), D u(x , y ) = v(x , y ).
1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 0 0

Esercizio 4

n n§ \ {0} → ∈ \ {0} — 4) Una funzione f: si dice positivamente omogenea di grado α se per ogni x R R R

α
e per ogni t > 0 si ha f (tx) = t f (x). Dimostrare il Teorema di Eulero: sia f differenziabile, allora f è
· 6
positivamente omogenea di grado α se e solo se x Df (x) = αf (x) per ogni x = 0.

Esercizio 5

2© — 5) Determinare, se esiste, a in tale che sia continua su la funzione R R

( sen(y−sen(x)) se y > sen(x)
y−sen(x) −1
e
f (x, y) = ≤ a se y sen(x)

Esercizio 6

2© — 6) Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità in della funzione R

( 3x se y < x
f (x, y) = 3≥ y se y x

Esercizio 7

2©§ — 7) Dimostrare che sono definite e differenziabili su le funzioni R

2y y −Z Z
sen(t) 1 cos(t)
f (x, y) = dt , g(x, y) = dt .
5t t2 2x x

Esercizio 8

3© — 8) Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità in di R

α β γ( |x| |