Esercizio sui luoghi geometrici

Circonferenza di raggio unitario e tangente

Nel piano, riferito ad un sistema d’assi cartesiani ortogonali, si consideri la circonferenza C di raggio unitario e con centro nell’origine O degli assi e sia P un suo punto.

Si tracci la tangente in P indicando con A e B i punti in cui tale tangente incontra rispettivamente l’asse x e l’asse y.

Si consideri il rettangolo OAQB e si esprimano le coordinate del punto Q in funzione dell’angolo θ; si trovi quindi l’equazione cartesiana del luogo descritto dal punto Q al variare del punto P sulla circonferenza C.

Si consideri l’angolo θ che la retta OP forma con il semiasse positivo delle x.

y

B Q

P

θ

O x

A

Per chi conosce la definizione della secante e della cosecante di un angolo, è facile riconoscere che le coordinate di A e di B sono rispettivamente (secθ ; 0), (0; cosecθ) da cui si ottiene:

).

Altrimenti si può giungere allo stesso risultato osservando che: le coordinate di P sono (cosθ ; sinθ), la retta OP ha coefficiente angolare tgθ, la retta AB, essendo perpendicolare in P ad OP per la tangenza, ha coefficiente angolare.

= x – cosθ );

– sinθ

La retta AB ha quindi equazione y - cotgθ mettendo a sistema con y = 0 tale equazione si ottiene come ascissa di A ; 0).

, quindi ).

Analogamente, mettendo a sistema l’equazione della retta AB con x = 0, si ha

)

Le coordinate di Q sono pertanto e le equazioni parametriche del luogo descritto da Q al variare di P sulla circonferenza C sono: