2010 - Liceo della comunicazione, prova suppletiva

Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione prova suppletiva 2010, matematicamente.it

Problema 1

In un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy una curva γ ha per equazione:

y = (3x² − 6x + 3) / (ax² + bx + c).

1.

Si calcolino i valori delle costanti reali a, b, c, sapendo che γ ha per asintoti le rette di equazioni y = 3 e x = −2, e passa per il punto (3, 12/5).

2.

Si studi la funzione così ottenuta e si disegni il relativo grafico.

3.

L’equazione di γ può porsi sotto la forma:

y = 3 + α/(x − 2) + β/(x + 2).

Si determinino le costanti α e β.

4.

Si calcoli l’area della superficie piana, finita, delimitata da γ, dall’asse x e dalle rette x = 4 e x = k, essendo k l’ascissa del punto in cui la curva incontra l’asintoto orizzontale.

Risoluzione

Punto 1

La funzione deve avere come asintoto verticale x = −2 e come asintoto orizzontale y = 3.

La retta x = −2 è asintoto verticale se:

lim_x→−2 [(3x² − 6x + 3)/(ax² + bx + c)] = ∞

e quindi se si annulla il denominatore, cioè:

4a − 2b + c = 0.

La retta y = 3 è asintoto orizzontale se:

lim_x→±∞ [(3x² − 6x + 3)/(ax² + bx + c)] = 3

e quindi se a = 1.

Il passaggio per (3, 12/5) permette di ricavare la terza condizione:

12/5 = 27/(9a + 3b + c) → 9a + 3b + c = 45/4.

Si tratta quindi di risolvere il sistema di tre equazioni in tre incognite:

• a = 1;
• 4a − 2b + c = 0;
• 9a + 3b + c = 45/4.

Da cui:

a = 1, b = 0, c = −4.

y = (3x² − 6x + 3)/(x² − 4).

Punto 2

Studiamo la funzione:

y = (3x² − 6x + 3)/(x² − 4).

Dominio: R;

Intersezione asse ascisse: y = 0 → x = 1.

Intersezione asse ordinate: x = 0 → y = −3/4.

Simmetrie: la funzione non è né pari né dispari;

Positività: essendo x² − 4 > 0 per x ∈ R \ {−2, 2}, la funzione è positiva se x² − 4 > 0 e quindi se x < −2 oppure x > 2;

Asintoti verticali: come indicato nella traccia x = −2 è asintoto verticale.

lim_x→−2− [(3x² − 6x + 3)/(x² − 4)] = +∞,

lim_x→−2+ [(3x² − 6x + 3)/(x² − 4)] = −∞;

inoltre:

lim_x→2− [(3x² − 6x + 3)/(x² − 4)] = −∞,

lim_x→2+ [(3x² − 6x + 3)/(x² − 4)] = +∞,

per cui anche x = 2 è asintoto verticale;

Asintoti orizzontali: come indicato nella traccia y = 3 è asintoto orizzontale destro e sinistro;

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è razionale fratta e la presenza dell’asintoto orizzontale esclude la presenza di quello obliquo;

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Crescenza e decrescenza

La derivata prima è:

f′(x) = [6(x − 1)(x² − 4) − (3x² − 6x + 3) · 2x]/(x² − 4)² = −6(x − 1)(x² − 2x + 4)/(x² − 4)²;

essendo (x² − 4)² > 0 per ogni x ∈ R \ {−2, 2}, la derivata prima è positiva se:

(x − 1)(x² − 4) < 0

e quindi se x < −2 oppure −2 < x < 1 oppure x > 2, intervalli nei quali la funzione è strettamente crescente; in particolare la funzione presenta un massimo relativo in M(1, 0) ed un minimo relativo in:

m(0, −9/4).

Concavità e convessità

La derivata seconda è:

f″(x) = −6(2x³ − 15x² + 24x − 20)/(x² − 4)³;

per ricavare i flessi basta trovare gli zeri della derivata seconda e quindi risolvere l’equazione:

g(x) = 2x³ − 15x² + 24x − 20 = 0.

In particolare, attraverso considerazioni basate sul comportamento agli estremi, sulla crescenza e concavità di g(x), deduciamo che ammette un solo zero appartenente all’intervallo (5, 6): infatti in tale intervallo è strettamente crescente ed assume valore discorde agli estremi, per cui a norma del teorema degli zeri esiste un unico zero in (5, 6).

Tale zero è ricavabile attraverso uno dei metodi numerici come quello di Newton-Raphson, che permette di ricavare ricorsivamente lo zero attraverso la formula:

x_n+1 = x_n − g(x_n)/g′(x_n)

con punto iniziale x₀ = 6.

Di seguito il metodo in forma tabellare:

0,267

0,030

0,000

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Con un errore inferiore a 10⁻², l’unico flesso a tangente obliqua ha ascissa x ≈ 5,70.

Il grafico è di seguito presentato:

Punto 3

Effettuando il minimo comune multiplo si ha:

f(x) = (3x² − 6x + 3)/(x² − 4) = 3 + α/(x − 2) + β/(x + 2) →

[3(x − 2)(x + 2) + α(x + 2) + β(x − 2)]/(x² − 4) = (3x² − 6x + 3)/(x² − 4).

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E sfruttando il principio di identità dei polinomi ricaviamo il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

• α + β = −6;
• 2α − 2β = 3.

Da cui:

α = 3/4, β = −27/4.