1996 - problema 2 sessione suppletiva - temi svolti

Sessione suppletiva 1996

2) In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione: y = x³ + ax² + bx + c, dove a, b, c sono numeri reali.

Determinare tra queste le due curve k₁ e k₂ che passano per l’origine e per il punto A(2, 0) e sono tangenti all’asse delle ascisse rispettivamente in O e in A.

Disegnare l’andamento di k₁ e k₂. Considerata la regione piana R delimitata dagli archi di k₁ e k₂ aventi gli estremi in O e in A, calcolarne l’area e trovare tra le sue corde parallele all’asse delle ordinate quella di lunghezza massima.

Calcolare poi l’area del quadrilatero convesso avente per vertici gli estremi di questa corda e i punti O e A.

Verificare che le equazioni delle due curve k₁ e k₂ si trasformano l’una nell’altra con la sostituzione x = 2 − x′, y = −y′ ed esprimere questa proprietà in termini geometrici.

Soluzione di De Rosa Nicola

Curva k₁

Innanzitutto ricaviamo la curva passante per (0,0), (2,0) e tangente all’asse delle ascisse in (0,0).

Il passaggio per (0,0) impone sui coefficienti la condizione c = 0, mentre il passaggio per (2,0) impone 8 + 4a + 2b + c = 0.

Inoltre la tangenza in (0,0) all’asse delle ascisse equivale a dire che la retta tangente in (0,0) ha equazione y = 0.

Ora una retta generica passante per (0,0) ha equazione y = mx. m = y′(0) = 3x² + 2ax + b, per cui una generica retta passante per (0,0) e tangente alla curva k₁ ha equazione y = bx.

Poiché vogliamo che questa retta tangente abbia equazione y = 0, allora dobbiamo imporre b = 0.

Quindi per trovare i coefficienti dobbiamo risolvere il sistema seguente:

c = 0
8 + 4a + 2b + c = 0
b = 0

Da cui:

a = −2
b = 0
c = 0

k₁: y = x³ − 2x²

Curva k₂

Analoghe considerazioni si fanno per trovare l’equazione dell’altra curva, solo che in questo caso la tangenza all’asse delle ascisse è in (2,0), per cui in questo caso la generica retta tangente ha equazione y = m(x − 2).

m = y′(2) = 3x² + 2ax + b = 12 + 4a + b ed affinché questa retta tangente abbia equazione y = 0 allora dobbiamo imporre 12 + 4a + b = 0.

Quindi per trovare i coefficienti dobbiamo risolvere il sistema seguente:

c = 0
8 + 4a + 2b + c = 0
12 + 4a + b = 0

Da cui:

a = −4
b = 4
c = 0