SESSIONE SUPPLETIVA 1996
2) In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve
di equazione: y = x + ax + bx + c, dove a, b, c sono numeri reali. Determinare tra queste le due
3 2
curve k e k che passano per l'origine e per il punto A(2, 0) e sono tangenti all'asse delle ascisse
1 2
rispettivamente in O e in A. Disegnare l'andamento di k e k . Considerata la regione piana R
1 2
e k aventi gli estremi in O e in A, calcolarne l'area e trovare tra le sue
delimitata dagli archi di k 1 2
corde parallele all'asse delle ordinate quella di lunghezza massima. Calcolare poi l'area del
quadrilatero convesso avente per vertici gli estremi di questa corda e i punti O e A. Verificare che le
equazioni delle due curve k e k si trasformano l'una nell'altra con la sostituzione x = 2 - x', y = - y'
1 2
ed esprimere questa proprietà in termini geometrici.
SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA
k
Innanzitutto ricaviamo la curva passante per (0,0), (2,0) e tangente all’asse delle ascisse in (0,0):
1 =
il passaggio per (0,0) impone sui coefficienti la condizione c 0 , mentre il passaggio per (2,0)
+ + + =
a b c . Inoltre la tangenza in (0,0) all’asse delle ascisse equivale a dire che la
impone 8 4 2 0
retta tangente in (0,0) ha equazione y=0. Ora una retta generica passante per (0,0) ha equazione
( )
( )
= = = = + + =
I 2
y mx , m y x 0 3 x 2 ax b b per cui una generica retta passante per (0,0) e
=0
x
k
tangente alla curva ha equazione y=bx. Poiché vogliamo che questa retta tangente abbia
1
equazione y=0 allora dobbiamo imporre b=0. Quindi per trovare i coefficienti dobbiamo risolvere il
sistema seguente: = = −
c 0 a 2
+ + + = =
⇒ ⇒
8 4 a 2
b c 0 b 0
= =
b 0 c 0
= −
3 2
k : y x 2 x
1
Analoghe considerazioni si fanno per trovare l’equazione dell’altra curva, solo che in questo caso la
tangenza all’asse delle ascisse è in (2,0), per cui in questo caso la generica retta tangente ha
( )
( ) ( )
= − = = = + + = + +
2
I
equazione y m x 2 , m y x 2 3 x 2 ax b 12 4 a b ed affinché questa retta
= 0
x
tangente abbia equazione y=0 allora dobbiamo imporre 12+4a+b=0. Quindi per trovare i
coefficienti dobbiamo risolvere il
sistema seguente: = = −
c 0 a 4
+ + + = =
⇒ ⇒
8 4 a 2
b c 0 b 4
+ + = =
12 4 a b 0 c 0
( )
= − + = − 2
3 2
k : y x 4 x 4 x x x 2
2
= −
3 2
Iniziamo a studiare k : y x 2 x :
1
Dominio : l’insieme dei numeri reali R ( )
− = − = = =
⇒ ⇒
3 2 2
Intersezione asse x : x 2 x 0 x x 2 0 x 0
, x 2
= =
⇒
Intersezione asse y : x 0 y 0
Asintoti : non ci sono asintoti, né verticali né orizzontali né obliqui.
( ) ( )
− = +∞ − = −∞
3 2 3 2
lim x 2 x , lim x 2 x
In particolare → +∞ → −∞
x x
Crescenza e decrescenza :
( ) 4
= − > < ∪ >
⇒
I 2
y x 3 x 4 x 0 x 0 x 3
( ) = −
II
y x 6 x 4
( ) ( )
= − < ⇒
II
y 0 4 0 0
, 0 è un massimo relativo
4 4 32
= > −
⇒
II è un minimo relativo
y 4 0 ,
3 27
3
Inoltre
( ) 2 2 16
= − = = −
⇒ ⇒
II è un flesso.
y x 6 x 4 0 x ,
27
3 3
Il grafico è di seguito riportato: ( )
= − + = − 2
3 2
Studio di k : y x 4 x 4 x x x 2 :
2
Dominio : l’insieme dei numeri reali R
( )
− = = =
⇒
2
Intersezione asse x : x x 2 0 x 0
, x 2
= =
⇒
Intersezione asse y : x 0 y 0
Asintoti : non ci sono asintoti, né verticali né orizzontali né obliqui.
( ) ( )
− = +∞ − = −∞
2 2
In particolare lim x x 2 , lim x x 2
→ +∞ → −∞
x x
Crescenza e decrescenza :
( ) 2
= − + > < ∪ >
⇒
I 2
y x 3 x 8 x 4 0 x x 2
3
( ) = −
II
y x 6 x 8
2 2 16
= − < ⇒
II è un massimo relativo
y 4 0 ,
3 3 27
( ) ( )
= > ⇒
II
y 2 4 0 2
, 0 è un minimo relativo
Inoltre
( ) 4 4 32
= − = =
⇒ ⇒
II è un flesso.
y x 6 x 8 0 x ,
3 3 27
Il grafico è di seguito riportato:
Rappresentiamo su un unico grafico le due curve:
L’area cercata è:
[ ] [ ] 2
( ) ( ) ( )
2 2
2 16 8
∫ ∫
= − + − − = − + = − + = − + =
3 2 3 2 2 3 2
A x 4 x 4 x x 2 x dx 2 x 4 x dx x 2 x 8
3 3 3
0
0 0
Tracciamo ora una generica retta parallela all’asse delle ordinate nell’intervallo [0,2] di equazione
x=h:
In questo modo i punti H e K sono rispettivamente:
( ) ( )
= − = − +
3 2 3 2
H h , h 2 h , K h , h 4 h 4 h
Ora la corda avrà lunghezza: − < ∪ >
( ) ( ) 2
2 4 0 2
h h h h
( ) = − − − + = − =
3 2 3 2 2
2 4 4 2 4
L h h h h h h h h − + < <
2
2 h 4 h 0 h 2
[ ]
∈ 0
, 2
h
Poiché la corda ha come limitazione di trovarsi nell’arco OA e quindi allora:
( ) = − + ≤ ≤
2
L h 2 h 4 h , 0 h 2
Si calcolino ore le derivate prima e seconda della lunghezza della corda:
( ) = − + > ≤ <
⇒
I
L h 4 h 4 0 0 h 1
[ ]
( ) = − < ∀ ∈
II
L h 4 0 h 0 ,
2
Per cui il valore di h che rende massima la lunghezza della corda è h=1 in corrispondenza del quale
la corda ha lunghezza L=2.
Vediamo ora se effettivamente le curve si trasformano l’una nell’altra con la semplice sostituzione
= −
'
x 2 x
= −
'
y y
= −
3 2
k : y x 2 x . Effettuando le sostituzioni si ha:
Scegliamo come curva da cui partire la curva 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3 2 2 3 2
− = − − − = − − + − − + = − + − ⇒
2
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
y 2 x 2 2 x ' 8 x 12 x 6 x 8 2 x 8 x x 4 x 4 x
( ) ( )
3 2
= − +
' ' ' '
y x 4 x 4 x
= −
3 2
Cioè effettivamente partendo da k : y x 2 x con quelle sostituzioni si è ricavato
1
= − +
3 2
k : y x 4 x 4 x .
2 = − +
3 2
Questo significa che avremmo potuto fare a meno di studiare k : y x 4 x 4 x e ricavarci il suo
2
= −
3 2
grafico a partire da quello di k : y x 2 x .
1
Cerchiamo di dare consistenza allora a questa ultima considerazione: partiamo dal grafico di
= − = −
3 2 '
k : y x 2 x ed applichiamo una sostituzione alla volta: la sostituzione y y
1 = −
3 2
geometricamente comporta di prendere il grafico di k : y x 2 x e ribaltarlo rispetto all’asse
1
( )
= − = − −
' '
delle ascisse; invece la sostituzione x 2 x x 2 equivale a prendere il grafico di
= −
3 2
k : y x 2 x a traslarlo rigidamente di 2 verso le ascisse positive e poi a ribaltare il tutto
1
rispetto all’asse delle ordinate. = − +
3 2
Applicando in cascata queste due sostituzioni si ricava il grafico di k : y x 4 x 4 x come è
2
dimostrato dai grafici di seguito riportati in cui si fa vedere la cascata delle due sostituzioni:
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