2002 - liceo scientifico - scuole italiane in America Latina

Sessione suppletiva 2002 in America Latina Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

(Buenos Aires - Lima)

Nuovo esame di Stato: Indirizzo Scientifico

Sessione 2002 (suppletiva)

Seconda prova scritta

Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 dei 7 quesiti in cui si articola il questionario:

Problema 1

In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la parabola p di equazione: = + +

2

y x x 1

a) Condotte per il punto O le rette tangenti alla parabola, trovare le coordinate dei punti A e B di contatto.

b) Trovare le coordinate del punto C, situato da parte opposta di O rispetto alla retta AB, tale che il triangolo ABC sia isoscele e rettangolo in C.

c) Determinare l’equazione della circonferenza k avente il centro in C e passante per A.

d) Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dall’arco AB di parabola e dai segmenti CA e CB.

e) Determinare in quante parti la parabola p divide il cerchio delimitato da k.

Problema 2

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione: = − + − +

3 2

y x mx m 3 ,

dove m è un parametro reale.

γ

b) Determinare, tra le curve assegnate, la curva avente un flesso nel punto di ascissa 1.

1 γ >

c) Per il punto A, di ascissa x x

condurre le due rette tangenti a e indicare con B e C ( ) i

B C

2 γ

punti che tali rette tangenti hanno in comune con , oltre al punto A.

γ

d) Sull’arco AB di trovare un punto P in modo che l’area del triangolo APB sia massima.

γ

e) Calcolare la tangente dell’angolo formato dalle due suddette rette tangenti a . 1

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Questionario

1. Una piramide si dice retta:

• Se gli spigoli che concorrono nel suo vertice propriamente detto sono due a due perpendicolari;
• Se almeno un angolo del poligono di base è retto;
• Se l’altezza è perpendicolare alla base;
• Per una ragione diversa dalle precedenti.

Una sola risposta è corretta: individuarla.

2. Calcolare il volume di un ottaedro regolare, conoscendo la lunghezza s di un suo spigolo.

2002

3. La cifra delle unità dello sviluppo della potenza 2 è:

A) 2 ; B) 4 ; C) 6 ; D) 8 .

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta effettuata.

4. Considerata la seguente equazione in x: − − =

2

2 x 4 x 3 0

e indicate con x ' ed x ' ' le sue soluzioni, calcolare il valore della seguente espressione:

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

+ + · − + − ·

2 2 2 2

x ' x ' ' x ' x ' ' x ' x ' ' x ' x ' '

x

( ) ∫

= − 2

5. Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione f x 1 t dt

0 ( ) = 3 2

6. Determinare il dominio di continuità e quello di derivabilità della funzione f x x

7. Enunciare il teorema di De L’Hôpital e stabilire se può essere applicato per calcolare i seguenti limiti: + +

sin x 3 x sin x 3 x

lim , lim

+ +

→ → +∞

sin x 2 x sin x 2 x

x 0 x

_________________________

• Durata della prova: 6 ore.
• Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
• È consentito l'uso della calcolatrice non programmabile. 2

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Problema 1

In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la parabola p di equazione: = + +

2

y x x 1

Punto 1

Condotte per il punto O le rette tangenti alla parabola, trovare le coordinate dei punti A e B di contatto. =

La generica retta tangente ha equazione . Imponendo l’intersezione tra la retta e la parabola

y mx

( )

− − + =

2

otteniamo l’equazione 1 1 0 e imponendo che il delta sia nullo si ha

x m x

( ) ( )( )

∆ = − − = − − = − + = = ∨ = −

⇒

2 2

m 1 4 m 2 m 3 m 3 m 1 0 m 3 m 1 per cui le due rette tangenti

1 2

= = − =

sono y 3 x e y x . Il punto di contatto A si trova intersecando la parabola con y 3 x ; in questo

( )

( ) =

− + = − = =

⇒

2

2 A 1

,

3

caso otteniamo l’equazione x 2 x 1 x 1 0 x 1 per cui . Il punto di contatto B

= −

y x ; in questo caso otteniamo l’equazione

si trova intersecando la parabola con ( )

( ) = −

+ + = + = = −

⇒

2

2 B 1

,

1

x 2 x 1 x 1 0 x 1 per cui .

Punto 2

Trovare le coordinate del punto C, situato da parte opposta di O rispetto alla retta AB, tale che il triangolo ABC sia isoscele e rettangolo in C.

( )

=

C x , y

Sia C di coordinate generiche . I lati del triangolo ABC misurano:

( ) ( )

= − + − = + − − +

2 2 2 2

AC x 1 y 3 x y 2 x 6 y 10

( ) ( )

= + + − = + + − +

2 2 2 2

BC x 1 y 1 x y 2 x 2 y 2

( ) ( )

= + + − =

2 2

AB 1 1 3 1 2 2 =

AC BC

Il trianglo è isoscele, per cui imponendo si ha

Elevando al quadrato

+ − − + = + + − + 

    

→ + − =

2 2 2 2 ambo i membri

x y 2 x 6 y 10 x y 2 x 2 y 2 x y 2 0 ; il triangolo è

2 2 2

+ =

AC BC AB si ha

rettangolo in C per cui imponendo

( ) ( )

+ − − + + + + − + = → + − + =

2 2 2 2 2 2

x y 2 x 6 y 10 x y 2 x 2 y 2 8 x y 4 y 2 0 . Bisogna risolvere il

+ − + =

 2 2

x y 4 y 2 0



sistema . Sostituendo la seconda nella prima si ha

+ − =

 x y 2 0

( ) = ∨ = −

− + − + = − + = = ∨ =

⇒ ⇒

2 2 2 x 1 x 1

2 y y 4 y 2 0 y 4 y 3 0 y 1 y 3 da cui .