Esempi di funzioni. Trasformazioni del piano. Proprietà  generali

Esempi di Funzione

1. f costante in A assume lo stesso valore per tutti gli elementi di A.
   • y = c
   "c" è una costante
2. f lineare: la grafico è sempre una retta e l'equazione è
   • y = mx + q
   dove m ∈ R ed è il coefficiente angolare
3. f proporzionalità inversa: come esempio si può ripetere quello della legge di Boyle in cui PV = k. L'equazione di questa funzione è del tipo
   • xy = c
   dove "c" è la costante

Esempi di Funzione

1. f costante in A assume lo stesso valore per tutti gli elementi di A.

   "c" è una costante

2. f lineare: il grafico è sempre una retta e l'equazione è y = mx + q dove m ∈ ℝ ed è il coefficiente angolare.

3. f proporzionalità inversa: come esempio si può ripetere quello della legge di Boyle in cui PV = K. L'equazione di questa funzione è del tipo xy = c dove "c" è la costante.

La QUADRATICA è una funzione del tipo ^y = ^ex2

Il grafico di questa funzione è una parabola.

Altri esempi si possono fare considerando l'equazione ^y = ^xn dove "n" è un intero relativo.

n = 1; y = x (retta) n = 2; y = x² (parabola) n = -1; y = ¹/_X³ (iperbole equilatera)

Parlando in generale e considerando "n" come un intero relativo, si distinguono quattro casi:

1. n positivo pari
2. n positivo dispari
3. n negativo pari
4. n negativo dispari

1 - Un positivo pari :

dom f = ℝ

im f = [0, +∞)

• f(x) = 0 ⇔ x = 0 ; f(x) > 0 se x ≠ 0
• f(-x) = f(x) per ogni x ∈ ℝ.

2 - Un positivo dispari :

dom f = ℝ ; im f = ℝ

• f(x) = 0 ⇔ x = 0 ; f(x) > 0 se x > 0
• f(x) < 0 se x < 0
• f(-x) = -f(x)

3 - Un negativo pari :

dom f = ℝ \ {0} ; im f = (0, +∞)

• f(x) = -f(-x) per x ∈ ℝ \ {0}

4 - Un negativo dispari :

dom f = ℝ \ {0} ; im f = ℝ \ {0}

• f(x) = -f(-x)

Funzione valore assoluto y =

• y = -x | bisettrice quadrante
• y = x | bisettrice quadrante
• { x se x ≥ 0
• { -x se x < 0

Qui di seguito i grafici dei 4 casi esposti nella pagina precedente.

GRAGICO 1°

GRAGICO 2°

GRAGICO 3°

GRAGICO 4°

75bis

De questa prof. si possono costruire profs. ealtre funzioni mediante le trasformazionidel piano. Queste ci servono comebeg${ac}$lio per gli svrovi futuri.

TRASFORMAZIONI DEL PIANO

Una trasformazione del piano è una funzioneda $r²$ in $r²$. E' una legge che trasforma ognipunto del piano in un altro punto del piano.

_lo e feo le trasformazione_orein spostato _rill una nuoevopunto p_l S_tiuilkne%

$\mathbf{X =}$ $\mathbf{f_1(x,y)}$ $\mathbf{Y =}$ $\mathbf{f_2(x,y)}$ Sistema generale

Una caratteristica molta importante di inqueste tras$ta(transformazioni)$, è la ricerca deicaratteristicavicine deipunti fissi o $PUNTI$ $UNITI$ delle tras$masformazíonn$di${às}$; ${(ac)}$ nelle tras$formerà$ chepoi tras$transformando$ se stessi. Le coordinatao^r anaggio con quelle con $p_4$. $($Il $)$punto vengono uniti in se stessi.

76

sistema generale

Un'altra proprietà interessante nelle trasformazioni è il fatto che queste trasformazioni siano o meno delle isometrie ( trasformazione che mantiene invariato le distanze fra i punti).

In una trasformazione generica questa

E' interessante evolutare proprio quelle trasformazioni in cui questo non avviene avvero nelle isometrie.

Una trasformazione è una isometria se

d(P₁, P₂) = d(P'₁, P'₂) e questo avviene

Per ogni P₁ E R² ed e per ogni P₂ E R²

cioé se per ogni coppia di punti le distanze rimane invariante dopo la trasformazione.

riassumendo:

Una trasformazione dell piano è una funzione da R² in R²;

PUNTI FISSI: sono i punti che la trasormazione

invata in se stessa

ISOMETRIE:

Trasformazioni che mantengono invariate le distanze di (p₁, p₂) - di (p_1', p_2'). Alcuni esempi di trasformazioni che ci interesseranno nelle applicazioni o grafici delle funzioni:

TRASLAZIONI

Prendiamo un punto p, definiamo lo spostiamo in modo da mantenere inalterata l'ordinata e variando l'ascissa. E questo lo applichiamo tutti i punti del piano. Assegnamo dunque, una quantità di cui facciamo espresione tutti i punti del piano. Immaginiamo che la quantità assenga si "p" ottiene che X = X + p. Se "p" è una quantità positiva avremo una traslazione verso destra. Se è negativa verso sinistra. Mantenemo la stessa operazione sulle ordinate, identifichiamo con "q" le quantità della e la spostiamo in direzione verticale ed avremo che Y = Y + q.

LEGGE DEL TRASLAZIONE:

• ΣX = x + p
• ΣY = y + q

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Assegnati due parametri reali "p" e "q" la posizione del punto trasfomato P (X',Y') è legata alle coordinate (x,y) di P da questa legge detta LEGGE DELLA TRASLAZIONE. La traslazione è un moto rigido del piano. Una relazione molto interessante è quella in cui

ξ = p = 0

ζ = q = 0

X' = x

Y' = y

Significa che il punto P è stato trasformato nel punto P' avente le stesse coordinate. Questa trasformazione è detta IDENTICA o IDENTITÀ ed è una particolare traslazione.

Molto interessante è la ricerca dei punti fissi in una traslazione: Cioè quei punti tali che le coppie (x,y) è uguale alle coppie (X',Y').

• X' = x
• Y' = y

• X + p = x
• Y + q = y

Se p ≠ 0, q ≠ 0 la vostra traslazione non ha punti uniti. Se p = q = 0 ogni "x" ed ogni "y" è soluzione del sistema. Quindi in corrispondenza (o,o) esiste la trasformazione "IDENTITÀ".

Assegnati due parametri reali "p" e "q" la

posizione del punto trasfomato (X,Y) è

legata alle coordinate (x,y) di P, da questa

legge detta LEGGE DELLA TRASLAZIONE.

La traslazione è un moto rigido del piano.

Una relazione molto interessante è quella

in cui:

x = x

y = y

Significa che il punto P è stato trasformato

nel punto P' avente le stesse coordinate.

Questa trasformazione è detta IDENTICA o

IDENTITÀ ed è una particolare traslazione.

Molto interessante è la ricerca dei punti

fissi in una traslazione: cioè quei punti

tali che le coppie (x,y) è uguale alle

coppie (X,Y).

X = x

Y = y

se per p e q le

vostre traslazioni non

hanno punti uniti.

se p = q = 0 ogni "x" ed

ogni "y" è soluzione del sistema.

Quindi in corrispondenza (0,0) esistono le

trasformazione IDENTITA'.