Esempi di funzioni. Trasformazioni del piano. Proprietà  generali

Esempi di funzione

1 - f costante: in A si assume lo stesso valore per tutti gli elementi di A.

y = c

"c" è una costante.

2 - f lineare: il grafico è sempre una retta e l'equazione è y = mx + q, dove m R ed è il coefficiente angolare.

(0, q)

3 - f proporzionalità inversa: come esempio si può prendere quella della legge di Boyle in cui pV = k. L'equazione di questa funzione è del tipo xy = c, dove "c" è la costante.

4 - La quadratica è una funzione del tipo y = ax².

Il grafico di questa funzione è una parabola.

Altri esempi si possono fare considerando l'equazione y = xⁿ, dove "n" è un intero relativo.

n = 1; y = x (retta).

n = 2; y = x² (parabola).

n = -1; y = ¹/_x (iperbole equilatera).

Perché in generale è così considerando "n" come un intero relativo, si distinguono quattro casi:

1. N positivo pari
2. N positivo dispari
3. N negativo pari
4. N negativo dispari

Primo caso: n positivo pari

1 - Un positivo pari: (GRAFICO 1° PAG. SUCCESSIVA).

dom f = R

im f = [0,+)

f(x) = 0 <=> x = 0; f(x) > 0 se x 0

f(-x) = f(x) per ogni x R.

Secondo caso: n positivo dispari

2 - Un positivo dispari: (GRAFICO 2° PAG. SUCCESSIVA).

dom f = R; im f = R

f(x) = 0 <=> x = 0; f(x) > 0 se x > 0

f(x) < 0 se x < 0

f(-x) = -f(x)

Terzo caso: n negativo pari

3 - Un reciproco pari: (GRAFICO 3° PAG. SUCCESSIVA).

dom f = R \ {0}; im f = ]0,+)

f(x) = f(-x) per x R \ {0}

Quarto caso: n negativo dispari

4 - Un reciproco dispari (GRAFICO 4° PAG. SUCCESSIVA).

dom f = R \ {0}; im f = R \ {0}

f(x) = - f(-x)

Funzione valore assoluto

Funzione valore assoluto y: |x| = { x se x 0

-x se x 0

y = -x

bisettrice quadrante

y = x

bisettrice quadrante

Qui di seguito i grafici dei 4 casi esposti nelle pagine precedenti -

GRAFICO 1°

GRAFICO 2°

GRAFICO 3°

GRAFICO 4°

25 bis

Da questi grafici si possono costruire grafici ed altre funzioni tramite le trasformazioni del piano. Queste ci serviranno come bagaglio per gli studi futuri.

Trasformazioni del piano

Una trasformazione del piano è una funzione che da R² in R², è una legge che trasforma ogni punto del piano in un altro punto del piano.

Se il punto P, dopo aver effettuato la trasformazione, viene spostato in un nuovo punto P'.

Questo esempio è detto, per ogni punto del piano. Per assegnare una trasformazione, abbiamo bisogno di sapere come sono le coordinate X, Y in funzione delle coordinate x, y del punto P. Quindi:

X = f₁(x, y)Y = f₂(x, y) - sistema generale -

Una caratteristica molto importante di queste trasformazioni è la ricerca dei punti fissi o punti uniti della trasformazione. In particolare, cioè, nelle trasformazioni, quei punti trasformati in se stessi - le coordinate di P' coincidono con quelle di P -.

{ x = x

y = y }

{ f₁(x,y) = x

f₂(x,y) = y }

spazio generale -

Un'altra proprietà interessante nelle trasformazioni è il fatto che queste trasformazioni siano o meno delle isometrie (trasformazioni che mantengono invariata la distanza fra i punti).

In una trasformazione generica questa distanza viene mutata.

L'interesse qualitativo proprio su quelle trasformazioni in cui questo non avviene avendo nelle isometrie.

Una trasformazione è una isometria se d(P₁,P₂) = d(P₁',P₂') e questo avviene per ogni P₁ R² e per ogni P₂ R².

Cioè se per ogni coppia di punti la distanza rimane invariata dopo la trasformazione medesima:

Una trasformazione del piano è una funzione da R² in R²;

{ x = f₁(x,y)

y = f₂(x,y) }

Punti fissi: sono i punti che la trasformazione muta in se stessi.

Isometrie

Trasformazioni che mantengono inalterate le distanze d(P₁, P₂) = d(P'₁, P'₂).

Alcuni esempi di trasformazioni che ci serviranno nelle applicazioni a partire dalle funzioni.

Traslazioni

P(x, y)

P'(X, Y)

Prendiamo un punto P, definiamo lo spostamento in modo da mantenere inalterata l'ordinata e variando l'ascisse. E questo l'applico a tutti i punti del piano. Assumiamo, dunque, una quantità di cui vogliamo spostare tutti i punti del piano. Supponiamo che la quantità espressa sia "p" e diciamo che X = x + p. Se "p" è una quantità positiva questa è una traslazione verso destra e se è negativa verso sinistra. Ripetiamo la stessa operazione sulle ordinate: identifichiamo una "q", la quantità di cui si spostano in direzione verticale per ottenere che y = y + q.

Legge della traslazione:

X = x + p

Y = y + q

Assegnati i due parametri reali "p" e "q", la posizione del punto trasformato (x, y) è legata alle coordinate (x, y) di P da questa legge detta legge della traslazione.

La traslazione è un moto rigido del piano.

Una traslazione nulla è quella in cui

p = 0         x = xq = 0         y = y

Significa che il punto P è stato trasformato nel punto P' avente le stesse coordinate.

Questa trasformazione viene detta identica o identità ed è una particolare traslazione.

Molto interessante è la ricerca dei punti fissi in una traslazione. Cioè quei punti tali che le coppie (x, y) e uguale alle coppie (X, Y).

x = x         x + p = xy = y         y + q = y

Se p è diverso da 0, q è diverso da 0 la nostra traslazione non ha punti uniti.

Se p = q = 0 ogni "x" ed ogni "y" è soluzione del sistema.

Quindi in corrispondenza (0, 0) abbiamo la trasformazione identità.

Assegnare ai due parametri reali "p" e "q" la posizione del punto P' è legata alle coordinate (x, y) di P da queste leggi dette della traslazione.

La traslazione è un moto rigido del piano. Due traslazioni molto interessanti sono quelle in cui:

p = 0, q = 0

x = xy = y

Significa che il punto P è stato trasformato nel punto P' avente le stesse coordinate.

Questa trasformazione viene detta identica o identità ed è una particolare traslazione.

Una trasformazione particolare interessante si chiama simmetria di ...

Molto interessante è la ricerca dei punti fissi in una traslazione. Cioè quei punti tali che le coppie (x, y) è uguale alle coppie (X, Y).

x = xy = y

x + p = xy + q = y

Se p != 0, q != 0 la nostra traslazione non ha punti fissi.

Se p = q = 0 ogni "x" ed ogni "y" è soluzione del sistema.

Quindi in corrispondenza a (0, 0) abbiamo la trasformazione identità.

Questo significa, dunque, che la traslazione non accetta punti fissi a meno che non si tratti della trasformazione identità.

Altra considerazione: le traslazioni mantengono inalterate le distanze fra due punti?

Rispondiamo con una dimostrazione:

P₁ = (x₁, y₁)    P₂ = (x₂, y₂)

P₁^' = (x₁ + p, y₁ + q)    P₂^' = (x₂ + p, y₂ + q)

d(P₁^', P₂^') = d(P₁, P₂);

d(P₁^', P₂^') = sqrt((x₂ + p - x₁ - p)² + (y₂ + q - y₁ - q)²) =

= sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = d(P₁, P₂)

Risposta della dimostrazione:

Sì, le distanze fra due punti vengono mantenute.

Nessun punto

Le traslazioni

x = x + p

y = y + q

• È una isometria
• Non hanno punti fissi a meno che non sia p = q = 0