Teoria Automatica

Sistemi e modelli

Classificazione dei sistemi dinamici

Il numero delle variabili di stato corrisponde all'ordine del modello ingresso-uscita.

• SISO: m=1, p=1
• MIMO: m > 1 e/o p>1

= 0

Autonomo

• Tempo continuo: ci sono derivate
• Tempo discreto: non ci sono derivate
• Sistemi tempo-invarianti: i coefficienti non dipendono dal tempo

Trasformata di Laplace

+∞ [] = () ∙ = ()

DEF: ∫₀¹ ∀ > 0

• () = 1() = {Segnale a gradino unitario: 0 ∀ < 01[1()] =
• () = ∙ 1() Segnale a gradino non unitario [ ∙ 1()] =
• () = ∙ 1() Segnale esponenziale 1[ ∙ 1()] = −
• () = ∙ 1() + B ∙ ∙ 1() Segnale dato dalla somma di un gradino e di un esponenziale [ ∙ 1() + B ∙ ∙ 1()] = + −
• Segnale armonico () = () ∙ 1() → [() ∙ 1()] = 2 2 +() = () ∙ 1() → [() ∙ 1()] = 2 2 +
• () = ∙ 1() Segnale a rampa unitaria: 1[ ∙ 1()] = 2
• () = ∙ 1() Segnale a rampa non unitaria: ![ ∙ 1()] = +1
• () = ∙ ∙ 1() Segnale prodotto tra esponenziale e monomio di grado K: ! [ ∙ ∙ 1()] = (ha k poli in a)+1(−)

Proprietà della trasformata

• Linearità: la T.D.L. è lineare: 1 2 1 2()
• Derivata: la T.D.L. della derivata di è: [̇] = [] − (0)[̈] [̇ ̇ ̇2(0) (0)= − = () − (0) −] (), () = ()
• Integrale: la T.D.L. dell'integrale di ovvero: vale: ∫₀¹() = [] () () () < 0
• Segnale limitato: un segnale è limitato se e solo se la sua T.D.L. ha poli con e eventuali poli semplici con() = 0 (sull'asse immaginario) −[( − )] = ∙ ()
• Proprietà del ritardo

Poli e zeri

• Poli: radici del polinomio al denominatore della T.D.L.
• Zeri: radici del polinomio al denominatore della T.D.L.

I poli sono importanti in relazione al comportamento del segnale:

• Segnali limitati (né convergono né divergono): poli sull'asse immaginario > 0
• Segnali che divergono: < 0
• Segnali che convergono: > 0

Il concetto di stabilità si può studiare andando a vedere i poli nella parte con funzione di trasferimento. Se il sistema è lineare, tempo-invariante, causale, a dimensione finita e a condizioni iniziali nulle, allora la T.D.L. dell'uscita si ottiene moltiplicando la T.D.L. dell'ingresso per una funzione di trasferimento la quale è una funzione razionale fratta.

Sviluppo in fratti semplici

La T.D.L. si può scrivere come somma di fratti semplici: [] = ++⋯

• Per trovare e si utilizza la formula dei residui: = lim ( + ⋯ ) ∙ []→− ⋯ = lim ∙ []→0

Antitrasformata di una funzione razionale fratta

+⋯+ + −1 1 0 [()]() = = () −1 + +⋯+ +−1 1 0 +⋯+ + 1 0() = (− )(− )…(− )1 2 Sviluppo in parti semplici: 1 2 () = + + ⋯ +

• = lim ( − ) ∙ () Con residuo del polo e vale: − − − →1 2 ()

Quindi se è una funzione razionale fratta strettamente propria (grado denominatore > grado numeratore), con , , … , ≠ ≠ ), poli tutti semplici (ovvero1 2 (). allora la sua antitrasformata è una combinazione lineare di esponenziali i cui esponenti sono i poli di −1 [()] = + + ⋯ + 1 2 1 2 In base alla posizione dei poli della funzione razionale fratta, si capisce il comportamento di convergenza/divergenza di un segnale. −1] [()][ < 0 ∀ = 1, 2, … , → lim = 0 Se →∞

Analisi della risposta di un sistema LTI

TC--Modello I-O (input-output)--Modello di stato

➔ Modello I-O () ∀ ≥ 0 Date le condizioni iniziali e l'andamento dell'ingresso si vuole determinare l'andamento dell'uscita() ∀ ≥ 0 Soluzione in 3 passi: +∞ −() () = [()] = () ∙

1. Dato l'ingresso determinare la sua trasformata di Laplace: ∫₀() () = [()]
2. Data determinare la trasformata di Laplace dell'uscita:()() = () ∙ () + ()

Risposta forzata: risposta libera:()() =

Con , dipende linearmente dipende linearmente() ()da dalle condizioni iniziali −1() = + ⋯ + 1 1 0 … 01 112 ⋱]=[ 2 1⋮ ⋮ ⋮ 0 [ 1]−1 −2 1 −1() () = [()]3. Dato determinare la sua anti-trasformata di Laplace:

Modello di stato

̇() = ∙ () + ∙ () { () = ∙ () + ∙ () () () ∀ ≥ 0 Date le condizioni iniziali e l'ingresso si vuole determinare la risposta del sistema −1() = ∙ ( − ) ∙ + [ ]

Per un modello di stato con matrici ha funzione di trasferimento: −1(() = () ∙ () + ∙ − ) ∙ (0) () () Risposta forzata : Risposta libera : dipendedipende dall'ingresso dalle condizioni iniziali() = 0 () = 0 se () = 0 (0) = 0 se − − … −11 12 1− − 21 22( − ) = [ ]⋮ ⋱− … − 1 −1( − ) = () = + + ⋯ + 1 (−)−1( − ) = () +( − ) = (−1) ∙ det [ ]

Recap

() = () ∙ () + () ∙ (0)1−1 1[ … 1] → − [ ]1() = −1 11−1({ ∙ − ) → Analisi modale () =1 ∑ ∑() = = + =1 ∏ (− ) (− ) 1=1 =1 −1 −1 [] ∑ ∑ = ∙ () + ∙ ∙ =1 (−1)!

La risposta è sempre una combinazione lineare di modi del tipo:()- = Modo impulsivo −1 ∙ = 1,2 … = 1, … , - = Modi pseudo-esponenziali (). Il numero totale dei modi non impulsivi è pari al grado del denominatore di ± ≥ 1 2

La presenza di poli complessi coniugati di molteplicità origina nella risposta dei segnali modi pseudo-periodici.

Definizione di modi naturali

()() = Dato un sistema LTI con funzione di trasferimento avente:() ≠ ≠ ⋯ ≠ - Poli reali distinti di molteplicità1 2 ± = + 1, … , + ℎ) - Poli complessi coniugati ( distinti di molteplicità ()): Si definiscono MODI NATURALI del SISTEMA le seguenti funzioni temporali associate a tali poli (radici −1 , , … , = 1,2, … > Aperiodici: > Pseudo-periodici: −1 cos( ) , cos( ) , … . , cos( ) −1 sen( ) , sen( ) , … . , ( )

Comportamento dinamico dei sistemi/modelli

1. Risposta all’impulso
2. Risposta al gradino
3. Analisi in continua
4. Stabilità

Risposta all’impulso

() = () → () = Ingresso: () () ()+()(0)() = ∙ + ∙ (0) = Risposta all’impulso nel dominio di Laplace: () () () Risposta forzata Risposta libera +()(0)−1() = [ ]Risposta all’impulso nel dominio del tempo: ()è una funzione razionale propria data dalla combinazione lineare dei modi naturali del sistema i cui coefficienti (0).dipendono da e dalle condizioni iniziali

Casoparticolare:(0) = 0- condizioni iniziali () = (), = 1- impulso unitario −1 [()]() = () → () = = ()

Quindi la risposta impulsiva (che è uguale alla risposta forzata dell’impulso unitario) è l’antitrasformata della funzione di trasferimento.

Risposta al gradino unitario

1 ∀ > 0() = 1() = {0 ∀ < 0 () = ∫ () ∙ 1 0 ℎ() risposta forzata

Risposta forzata al all’impulso unitario gradino unitario ℎ() ℎ̇() = = () → per un sistema LTI TC, la risposta all’ impulso/gradino unitario è la derivata/intergrale della risposta al gradino/impulso unitario.

Analisi in continua

() = ∙ 1() ()(0) −1(0) = < ∞ () = (0) ∙ + [ ](0) ()(0) ≠ 0 () () risposta transitoria permanente (0) = guadagno in continua del sistema

Stabilità

Stabilità = insensibilità della risposta del sistema rispetto a perturbazioni (variazioni) delle cause che l’hanno originata, cioè lo stato iniziale e l’ingresso), )̃( ̃( → perturbazioni delle risposte), )̂( ̂( → risposta nominale

Definizione di stabilità asintotica (stabilità interna)

Un sistema LTI si dice asintoticamente stabile (AS), se e solo se, ̃(0) a fronte di una qualunque perturbazione sullo stato iniziale e di una qualunque perturbazione impulsiva )̃( = ̃ ∙ ( ) sull’ingresso, → ∞) ritorna asintoticamente (per all’evoluzione nominale. → un sistema LTI si dice asintoticamente stabile se e solo se tutti i suoi modi naturali sono convergenti a zero. ∙ Modi naturali: () lim () = 0

Definizione: Il modo si dice convergente a zero se →∞() < ed è convergente se e solo se.

Teorema A.S.

Un sistema LTI TC è asintoticamente stabile se e solo se il polinomio() caratteristico del sistema ha tutte le radici con parte reale() < 0 strettamente negativa: Quindi si può dire che la stabilità è legata alla posizione delle radici di un polinomio.

Definizione di stabilità BIBO (stabilità esterna)

→ Bounded Input Bounded Output. Un sistema LTI si dice BIBO stabile se un ingresso limitato produce un’uscita limitata: ||()|| ||()|| < ∞ → < ∞ ∀(0) ∈ ℝ() = ()() + ()(0) Risposta libera Risposta forzata

Teorema BIBO-Stabilità

• i. deve avere tutti i poli con() () < 0 (affinché la risposta forzata sia limitata)
• ii. deve avere tutti i poli con() () < 0 ed eventuali poli semplici con() = 0 (affinché la risposta libera sia limitata)

→ Se il sistema è asintoticamente stabile allora è anche BIBO stabile (ma il viceversa non vale, quindi non si può dire che se un sistema è BIBO è anche AS).

Casi particolari stabilità A.S.

1. n=1 (sistema del 1° ordine) () = + → > 0 condizione necessaria e sufficiente per A.S. :1 1
2. n=2 (sistema del 2° ordine) 2() = + + → > 0, > 0 condizione necessaria e sufficiente per A.S.:1 2 1 2 Regola di Cartesio: () < 0 - ad ogni permanenza di segni corrisponde una radice con() > 0 - ad ogni variazione di segni corrisponde una radice con

Caso generale: > 0, > 0, … , > 0 condizione necessaria per A.S.: 1 2 in generale tale condizione non è sufficiente.