Teoria Analisi 2

Teoria delle equazioni differenziali

Equazioni differenziali del primo ordine

Teorema 1.4 del primo ordine:

Se a, b ∈ C (I), ovvero sono funzioni continue nell'intervallo I. L'equazione differenziale è:

Y' + a(t)·Y = b(t) → Y(t) = Y₀

Allora esiste un'unica soluzione in C (I).

Dimostrazione dell'esistenza

A(t) = ∫ Tutte le soluzioni dell'equazione Y' + a(t)·Y = f sono date da:

− ()∫ − () ∫ ()∫∫ Y = C·e + e ()∫Y(t) = Y₀

Se al posto di t metto t₀ questi integrali sono nulli. Quindi l'unica soluzione è Y(t) = C --> C = Y₀

Dimostrazione dell'unicità

Supponiamo che esistano 2 soluzioni y₁, y₂ ∈ C (I) con:

Y' + a(t)·Y = f(t)

Facendo la differenza Y₁ - Y₂ = u

u' + a(t)·u = 0 --> u = 0 --> Y₁ - Y₂ = 0

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine

Teorema 1.4 (p.21) secondo ordine:

Se a, b, f ∈ C (I), ovvero sono funzioni continue nell'intervallo I.

Y'' + a(t)Y' + b(t)Y = f(t)

Esiste una sola soluzione del problema di Cauchy: ∃! Y ∈ C (I)

Teorema 1.5 (p.22) struttura dell'integrale generale dell'equazione lineare completa:

• L'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea L(y)=0 in un dato intervallo I è uno spazio vettoriale (è un sottospazio di C (I)).
• L'integrale generale dell'equazione completa si ottiene sommando l'integrale dell'equazione omogenea e una soluzione particolare dell'equazione completa.

Dimostrazione: Considero l'equazione L(y)= f, dove L(y)=0 è l'equazione omogenea.

Ker L = {y ∈ C (I) | L(y)=0}

Linearità di L:

• Y₁, Y₂ ∈ Ker L --> L(Y₁)=0, L(Y₂)=0 quindi L(Y₁ + Y₂)= 0
• Y ∈ Ker L --> λ·L(Y)=0 quindi L(λ·Y)=0

Teorema 1.6 (p.23)

Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine ha dimensione 2 (V ha dimensione 2).

Quindi se trovo due soluzioni dell'equazione omogenea (Y₁, Y₂) che sono linearmente indipendenti, allora si può descrivere interamente V:

V = { C₁Y₁ + C₂Y₂ | C₁, C₂ ∈ R }

Determinante Wronskiano (teorema 1.7)

Siano Z₁, Z₂ due funzioni soluzioni dell'equazione lineare omogenea (L(y)=0), allora queste sono linearmente indipendenti se e solo se il seguente determinante (detto determinante Wronskiano) è diverso da 0:

W(t) = det(Z₁(t) Z₂(t)) ≠ 0

Affinché questo accada è sufficiente che il determinante sia diverso da zero in un punto t ∈ I: W(t₀) ≠ 0

Funzioni a valori vettoriali

Proposizione 2.1 (p.54)

Limite:

Siano r(t)=(r₁(t), r₂(t), …, r_n(t)) e l=(l₁, l₂, …, l_n), allora per t → t₀, r(t) → l se e solo se r_i(t) → l_i per i=1, 2, …, n

Ossia il limite della funzione a valori vettoriali si calcola componente per componente:

lim_t→t0 (r₁(t), r₂(t), …, r_n(t)) = (lim_t→t0 r₁(t), lim_t→t0 r₂(t), …)

Dimostrazione: basta osservare che:

∑ |r_i(t) - l_i| ≤ |r(t) – l|

Allora se r(t) → l, la prima disuguaglianza implica che r_i(t) → l_i per ogni i=1,2..n; viceversa per r_i(t) → l_i per ogni j=1,2..n, allora la sommatoria tende a zero, quindi r(t)→l

Continuità

r è continua se tutte le sue componenti (r₁, r₂, …, r_n) sono continue.

Derivabilità

r è derivabile se tutte le sue componenti (r₁, r₂, …, r_n) sono derivabili.

r'(t) = (r'₁, r'₂, …, r'_n) --> derivata di r.

Integrabilità

r: [a, b] è integrabile secondo Riemann se tutte le componenti lo sono:

∫(r(t)) dt = (∫ r₁(t) dt, …, ∫ r_n(t) dt)

Retta tangente

L'equazione di una retta tangente a una curva nel punto t₀ è:

T = r'(t₀)(t - t₀) + r(t₀)

Definizione 2.4 (p.62) Arco di curva regolare

Un arco di curva regolare è un arco di curva r: I → R^m tale che r ∈ C (I) e r'(t) ≠ 0 per ogni t ∈ I. In altre parole, il vettore derivato esiste in ogni punto, varia con continuità e NON si annulla mai. Di conseguenza per le curve regolari è ben definito il versore tangente:

T'(t) = r'(t) / |r'(t)|

Definizione 2.6 (p.63) Curva regolare a tratti

Siano γ₁ e γ₂ due curve in R^m di equazione rispettivamente:

• r = r₁(t) t ∈ [a, b]
• r = r₂(t) t ∈ [b, c]

Inoltre si ha che r₁(b) = r₂(b).

Allora si definisce unione di γ₁ e γ₂ (γ₁ ∪ γ₂) la curva r: [a, c] → R definita da:

• r = r₁(t) per t ∈ [a, b]
• r(t) = r = r₂(t) per t ∈ [b, c]

Quindi una curva regolare a tratti è l'unione di un numero finito di curve regolari. E viceversa l'unione di due curve regolari è in generale una curva regolare a tratti; è regolare se risulta anche r'₁(b) = r'₂(b).

Teorema 2.1 (p.63) Derivabilità

Sia I ⊆ R. Se u, v: I → R^m sono derivabili allora:

• (u + v)' = u' + v'
• (cu)' = cu' con c = costante (c ∈ R)
• (f · u)' = f'· u + f · u' con f: I → R è una funzione derivabile
• [u(φ(t))]' = u'(φ(t)) · φ'(t) con φ: R → R è una funzione derivabile
• (u · v)' = u'· v + u · v' dove · indica il prodotto scalare delle due funzioni vettoriali
• (u × v)' = u' × v + u × v' dove × indica il prodotto vettoriale in R³ (se m=3)

Definizione 2.8 (p.69) Rettificabile

Si dice che γ è rettificabile se:

sup Σ |r(t_i) - r(t_i-1)| < +∞

Se r ∈ C ([a,b]) --> L = ∫ |r'(t)| dt

Teorema 2.4 (p.69) Parametrizzazione di un arco di curva

Sia r: [a, b] → R^m la parametrizzazione di un arco di curva γ regolare. Allora γ è rettificabile e la lunghezza di γ è:

L(γ) = ∫ |r'(t)| dt

Proposizione 2.2 (p.70) Unione di curve rettificabili

Se una curva γ è unione di due curve rettificabili γ₁ e γ₂, allora γ è rettificabile e L(γ) = L(γ₁) + L(γ₂).

Lo stesso vale per l'unione di un numero finito qualsiasi di curve rettificabili.

In particolare se una curva γ è regolare a tratti, allora è rettificabile e la sua lunghezza L(γ) = ∫ |r'(t)| dt.

Calcolo differenziale per funzioni reali a più variabili

Definizione 3.1 (p.99) Limite di successione

Data una successione {x_k} con k = 1, …, ∞ di punti di Rⁿ e un punto X₀ ∈ Rⁿ, si dice che:

X_k → X₀ per k → ∞ se |X_k - X₀| → 0 per k → ∞

Definizione 3.2 (p.99) Definizione successionale di limite di funzione

Sia f: Rⁿ → R definita in un intorno sferico di X₀ ∈ Rⁿ e sia L ∈ R. Allora possiamo dire che:

lim_{x → X0} f(x) = L

Se per ogni successione {x_k} con k = 1, …, ∞ di punti di Rⁿ tale che X_k → X₀ per k → ∞ (con X_k ≠ X₀), si ha che:

lim_k→∞ f(x_k) = L

Definizione 3.3 (p.100) Definizione di limite di funzione

Sia f: Rⁿ → R definita almeno in un intorno sferico di X₀ ∈ Rⁿ e sia L ∈ R. Allora possiamo dire che:

lim_{x → X0} f(x) = L se per ogni ε > 0, esiste un δ tale che 0 < |X - X₀| < δ implica |f(x) - L| < ε

Quindi:

lim_{x → X0} f(x) = +∞ (o -∞)

Teorema 3.1 (p.101) Permanenza del segno

Sia f: Rⁿ → R definita almeno in un intorno sferico di X₀ ∈ Rⁿ. Supponiamo che esista:

lim_x→X0 f(x) = L ∈ R

• Se L > 0, allora f(x) si mantiene positiva almeno in un intorno di X₀, cioè esiste un δ tale che f(x) > 0 purché 0 < |X - X₀| < δ
• Se f(x) ≥ 0 in un intorno di X₀, allora L ≥ 0.
• Se f è continua in X₀ e f(X₀) > 0, allora f(x) si mantiene positiva almeno in un intorno di X₀, cioè esiste un δ tale che f(x) > 0 purché |X - X₀| < δ (lo stesso vale per <, ≤)

Definizione 3.4 (p.102)

Sia f: Rⁿ → R definita in tutto lo spazio (o almeno per |X| abbastanza grande). Si dice che:

lim_|X|→∞ f(x) = L ∈ R se ∀ε > 0, ∃R > 0 tale che se |X| > R allora |f(x) - L| < ε

Si dice che:

lim_|X|→∞ f(x) = +∞ (o -∞) se ∀K > 0, ∃R > 0 tale che |X| > R allora f(x) > K.

Teorema 3.2 (p.104)

Sia f: Rⁿ → R definita almeno in un intorno di X₀ ∈ Rⁿ e sia L ∈ R.

Se g: (0, +∞) → R è una funzione tale che g(ε) → 0 per ε → 0 e |f(x) - L| ≤ g(|x − X₀|) per ogni x in un opportuno intorno sferico di X₀, allora:

lim_{x → X0} f(x) = L

Definizione 3.5 (p.108) Distinzione dei punti

Sia E un sottoinsieme di Rⁿ. Un punto X₀ ∈ Rⁿ si dice:

• Interno a E, se esiste un intorno sferico di X₀ contenuto in E
• Esterno a E, se esiste un intorno sferico di X₀ contenuto in E^c (complementare di E)
• Frontiera per E, se ogni intorno sferico di X₀ contiene almeno un punto di E e un punto di E^c

Definizione 3.6 (p.109) Distinzione di insiemi

Un insieme E ⊆ Rⁿ si dice:

• Aperto, se ogni suo punto è interno a E
• Chiuso, se il suo complementare è aperto

Definizione 3.7 (p.110) Intorno

X₀ ∈ Rⁿ si dice intorno di X₀ un qualsiasi insieme aperto contenente X₀.

Proposizione 3.1 (p.110)

Sia E un sottoinsieme di Rⁿ. Un punto X₀ ∈ Rⁿ è:

• Interno a E se e solo se esiste un intorno di X₀ contenuto in E
• Esterno a E se e solo se esiste un intorno di X₀ contenuto in E^c
• Frontiera per E se ogni intorno di X₀ contiene almeno un punto di E e un punto di E^c

Teorema 3.3 (p.110) Operazioni insiemistiche su insiemi aperti o chiusi

• L'unione di una famiglia qualsiasi (anche infinita) di insiemi aperti e l'intersezione di un numero finito di insiemi aperti sono insiemi aperti.
• L'intersezione di una qualsiasi famiglia di insiemi chiusi e l'unione di un numero finito di insiemi chiusi sono insiemi chiusi.

Teorema 3.4 (p.111) Insiemi chiusi e limiti di successioni

Sia C ⊆ Rⁿ. Allora C è chiuso se e solo se ha la seguente proprietà:

• per ogni successione {X_k} con k=1, ..., ∞ ⊆ C tale che X_k converga a un certo limite X ∈ Rⁿ, si ha che X ∈ C.

In altre parole un insieme è chiuso se e solo se contiene i limiti delle sue successioni convergenti.

Teorema 3.5 (p.112) Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue

Sia f: Rⁿ → R definita e continua in tutto Rⁿ. Allora:

a) Gli insiemi seguenti sono aperti:

• {x ∈ Rⁿ : f(x) > 0}
• {x ∈ Rⁿ : f(x) < 0}
• {x ∈ Rⁿ : f(x) ≠ 0}

b) Gli insiemi seguenti sono chiusi:

• {x ∈ Rⁿ : f(x) ≥ 0}
• {x ∈ Rⁿ : f(x) ≤ 0}
• {x ∈ Rⁿ : f(x) = 0}

Dimostrazione: Sia X₀ ∈ E = {X ∈ Rⁿ : f(x) > 0} e proviamo che X₀ è interno (da cui segue, per la genericità di X₀ che E è aperto). Poiché f è continua, per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno sferico in cui è f(x) > 0. Quindi E, perciò X₀ è interno.

Analogamente si prova che E = {X ∈ Rⁿ : f(x) < 0} è aperto.

Infine E = {X ∈ Rⁿ : f(x) ≠ 0} = E₁ ∪ E₂ perciò E è aperto perché è unione di aperti.

I tre insiemi elencati nel punto b) sono chiusi perché i loro complementari sono, rispettivamente, i tre insiemi del punto a), di cui ho appena dimostrato il fatto che siano aperti.

Definizione 3.8 (p.113)

Sia E un sottoinsieme di Rⁿ. Si dice:

• Interno di E (e si indica con E°) l'insieme dei punti interni di E
• Frontiera o Bordo di E (e si indica con ∂E) l'insieme dei punti di frontiera di E
• Chiusura di E (e si indica con Ē) l'insieme E° ∪ ∂E

In particolare si ha sempre: E° ⊆ E

Definizione 3.9 (p.114) Insieme limitato

Sia E un sottoinsieme di Rⁿ. Si dice limitato se esiste una costante k > 0 tale che |x| ≤ k per ogni x ∈ E. In altre parole, se è contenuto in una sfera di raggio abbastanza grande. Altrimenti è illimitato.

Definizione 3.10 (p.114) Insieme connesso

Un insieme E si dice connesso se...