Analisi 2 - teoria

Numeri complessi

I numeri complessi nascono con la necessità di dare un significato alla radice di -1. √(-1) diventa importante quando si vuole trovare una soluzione ad un'equazione di terzo grado: x³+px+q=0.

Definisco √(-1)=i e i²=-1.

I numeri complessi sono dunque tutti quei numeri che si possono scrivere nella forma a+ib, dove a è la parte reale e b quella immaginaria. Si possono vedere come una coppia di coordinate (a,b) e di conseguenza rappresentarli nel piano cartesiano.

a-ib è il coniugato di a+ib, ovvero il simmetrico rispetto all'asse della x. La somma di due numeri complessi può essere vista come somma di vettori.

p=√(a²+b²) ed è la distanza di z dal centro degli assi.

L'insieme dei numeri complessi è un campo numerico, dunque possiede le operazioni somma e prodotto con le loro determinate proprietà.

Proprietà della somma

• Associativa
• Esistenza dell'elemento neutro
• Commutativa
• Esistenza dell'elemento opposto ∀z ∈ C

Dim: (a+ib)+(c+id) = (a+c)+(b+d) valgono associativa e commutativa. 0+0i elemento neutro a+ib+(-a-ib)=0 elemento opposto

Proprietà del prodotto

• Associativa
• Esistenza dell'elemento neutro
• Commutativa
• Esistenza dell'inverso ∀z ∈ C con z≠0

Dim: (a+ib)(c+id)=ac+i(ad+bc)-bd=ac-bd+i(bc+ad)

Numeri complessi

I numeri complessi nascono con la necessità di dare un significato alla radice di -1. √-1 diventa importante quando si vuole trovare una soluzione ad un'equazione di terzo grado: x³+px+q=0.

Definisco i, √-1, i+1.

I numeri complessi sono dunque tutti quei numeri che si possono scrivere nella forma a+ib dove a è la parte reale e b quella immaginaria.

Si possono vedere come una coppia di coordinate (a,b) e di conseguenza possiamo rappresentarli nel piano cartesiano.

a-ib è il coniugato di a+ib ovvero il simmetrico rispetto all'asse della x.

La somma di due numeri complessi può essere vista come somma di vettori.

|a|=√a²+b² ed è la distanza di z dal centro degli assi.

L'insieme dei numeri complessi è un campo numerico dunque possiede le operazioni somma e prodotto con le loro determinate proprietà.

Proprietà della somma

• Associativa
• Commutativa
• Esistenza dell'elemento neutro
• Esistenza dell'elemento opposto ∀z∈C

Dim: (a+ib)+(c+id)=(ac)+c+^(t+bd) valgono associativa e commutativa

0+0=0 elemento neutro

a+ib+(-a-ib)=0 elemento opposto

Proprietà del prodotto

• Associativa
• Commutativa
• Esistenza dell'elemento neutro
• Esistenza dell'inverso ∀z∈C con t≠0

Dim: (a+ib)(c+bc)=ac+bc-bc-ac^(bb)&to;ab+bc(a+ib) è elemento neutro

Inverso del numero complesso

Troviamo un modo diverso per scrivere l'inverso di a+ib

(¹⁄_a+ib)

¹⁄_a+ib = ^a-ib⁄_a²+b² = ^a⁄_a²+b² + i^-b⁄_a²+b²

Forma trigonometrica

Posso scrivere a+ib = ρ (cosθ + isenθ) dove ρ = √(a² + b²) ovvero la distanza di (a,b) dall'origine

Dim.

a = ρã = ρ seno = √(a² + b²) seno = ρ seno(θ)

---------------

b = ρã = ρ cosθ = √(a² + b²) cosθ = ρ cosθ

a + ib = ρ ( cosθ + i senθ) prodotto numero complesso per uno scalare t∈ℝ

t(a+ib) = ta + tib

Dim.

P e Pt stanno entrambi sulla stessa retta poiché hanno lo stesso coefficiente angolare m_p tg θ. ^b⁄_a e m_pt = tg α ^{b t}⁄_{a t} = ^b⁄_a = tg θ = θ = α

Di conseguenza moltiplicare per uno scalare significa muoversi lungo una retta

P>Pt se t