Riassunto esame Termofluidodinamica, Prof. Zanino Roberto, libro consigliato Fundamentals of fluid mechanics, Munson

CAP 8

FLUSSI VISCOSI INTERNI

• caratteristica dei flussi dintutolati
• proprietà di moto laminare e di moto turbolento
• calcolano la perdita in porzioni diritte di tubi, e in alcuni componenti di sistema
• applicano le equazioni appropiate per f.situazioni di flusso
• trovano la portata d'un tubo usando un misuratore di portata

reanno teorica

una base

dai sperimenti

e analisi dimensionale

... non c'erano

alcuni problemi

non ideali non sono

risolubile con le

certe equazioni...

noi → principalmente trattiamo tubi, a sez. circolare e totalmente pieni di fluido

in questi la forza importante è data dai gradienti di pressione piuttosto che dalla

gravità (a meno che il tubo sia posto in verticale)

FLUSSO LAMINARE O TURBOLENTO

V=U_x+V_y+W_z

componenti cartesiane della velocità

in funzione del tempo

in L di flusso laminare la componente

v di velocità = 0

V=U_x e U NON variano al tempo

i precisi valori del numero di Reynolds in definire moto laminare, transione e

turbolento possono variare su diversi intervalli

CAP 8 FLUSSI VISCOSI INTERNI

• caratteristica di flussi laminati.
• proprietà di moto laminare e di moto turbolento
• calcolare le perdite in porzioni diritte di tubi e in alcuni componenti di sistema
• applicare le equazioni appropriate per situazioni di flusso
• trovare la portata di un tubo usando un misuratore di portata

ora -> principalmente trattiamo tubi: a sez. circolare e totalmente pieni di fluido.in questi la forza è importate è data dai gradiente di pressione piuttosto che dalla gravità (a meno che il tubo sia posto in verticale)

FLUSSO LAMINARE O TURBOLENTO

i precisi valori del numero di Reynolds in cui un moto laminare, transitorio e turbolento possono variare su diversi intervalli

Regione di entrata, flusso completamente sviluppato

solitamente il flusso entra con una velocità = uniforme, entrando nel tubo x gli effetti visosi il fluido rimane in parte attaccato ai bordi (dove la velocità = nulla = no slip condition) così, il profilo di velocità cambia av variando della distanza x dall'imbocco quando e raggiunta la lunghezza d'entratail profilo di velocità non varia in funzione di x, pur lo strato limite occupa l'intero tubo.

il profilo di velocità ha forma ≠ a seconda se si abbia flusso laminare o turbolento così con la lunghezza della regione d'entrata

• _le/_D = 0,06 · Re_laminare
• _le/_D = 4,4 (Re)^1/6_turbolento

il profilo di velocità è lo stesso per ogni sezione v

Pressione e sforzi di taglio

lungo un tubo orizzontale il motor è dato da gradienti di pressione. il gradiente di pressione non è = cost an uniformo ma in diretta quando il fluvo è completamente sviluppato

il gradiente è dato dagli effetti visosi dalla perdita della pressione ovvero il bilancio quale dissipato dagli attriti visosi, la pressione decresce nel muoci manomera del flusso [p₁ > p₂ > 0]

se abbiamo un tubo non totalmente orizzontale o verticale parte della gravità di pressione è dovuta al peso ( _prima adesso _bisogna)

le forze viscoso dipendono dal tipo di moto _{turbolento laminare}

_{BP = P}

FLUSSO LAMINARE COMPLETAMENTE SVILUPPATO

local acceleration      _ΔV = 0Δt

convective  " "      V · ∇ V = µ &sub>dv&sub> = 0dx

poiché  u(y) ≠ cost → si sovrappone strato a strati (cancelliamolo

_dall'_viscosia) ed sono _{strato a strati (cancelliamolo} →

funzione   di   r   Τ(r)

se ciò secondo legge di Newton in questo tipo di moto: Fx = m_x = 0F_x= p_&ro;² = p_&ro;¹ - ΔP

_p2

n₂-(z₂)2nℓ2 = 0

PRESSIONE NON PRIME VISCOSO

ΔP = 2τ

  ℓ       

principio di tensione si muove c'è una media ogni porzione di fluido a velocità

specifichiamo al centro del tubo t=0   _e      centrali alla parte =Τ_max = Τ_w

τ=2 Τ μων

dr

funzione lina

ΔP= 4ℓτ_wD

come si relaziona Τ con profilo velocità ?

   x  =-  y^du

(1)+(2)  d_u  -  (ΔP)

d_n

   τ    24ℓ    (3')     τ⊥

 μ(r)= μ(*) [ 1-  _{r τ²                    2(3¹⁽¹⁾) ]}

L unico=0;=0

t=0

poiché si

PERTANDA     dQ = dA

Vℓ&sub>w;&subg;n

μ(r) =

⟨ 2

η

0^μ  &/sup;    

velocità a media    Σ  

     ν     ν_c²

 ΔP D²

μνμνV²

comincia da una se tubo non è orizzontale → la caduta di pressione tiene conto

dell’effetto di gravità

ΔP = ρg _x sinθ = 2 ^πC _l

V = ( ΔP - ρg _x sinθ ) D ² / 32μL

Q = π ( ΔP - ρg _x sinθ ) D ⁴ / 128μL

posso ottenere la legge di POISEUILLE con ulteriori ipotesi

∇ ² V = 0

γ ∂V ₁ ^ɛ ( V · ∇ ) V = - ∇ P + ρĝ + γ ∇ ² V → ∇ P + ρg ẑ = γ ∇ ² V

cancellazioni

In coordinate polari (componenti lungo tubo)

δP + ρg sinθ = γ 1 _r δ _r ( δu / δr (r δr ))

x tubo non è orizzontale → - δP / ɛ + ρg sinθ

friction factor

f = 64 / Re x flusso laminare (canal. sviluppato)

f = 8 / Re

f = 8 _Tw / ρV ²

ΔP = f _L / D ρV ² / 2

CONSIDERAZIONI SULL'ENERGIA

p_m + α_m ^V₂ + z₁ = p₂ + α₂ ^V₂ + z₂ + h_d

• d₁, d₂ coeffic. di energia cinetica
• profili di velocità NON è uniforme

profilo non uniforme negli sviluppatori α_m≠α₂ ottengo

(p_m + z₁) - (p₂ + z₂) = h_L h_L = p_m-p₂ + z₂-z₃ h_L= 2 ξl/γR

FLUSSO TURBOLENTO COMPLETAMENTE SVILUPPATO

per flusso dentro tubo → 2100 < Re_c < 4000 = MOTO TURBOLENTO

HEAD LOSS (h_L)

h_L = h_{L MAJOR} + h_{L MINOR}

• perdite dovute agli attriti viscosi nel tubo
• perdite dovute ai vari componenti

Friction factor → = Φ (Re, ε/D)

• = 64/Re - flusso laminare (non dipende da ε/D)
• = Φ (Re, ε/D) - flusso turbolento

EQUAZIONE DELL'ENERGIA CASO:

• stazionario
• incomprimibile

p₁ + α₁ V₁²/2g + z₁ = p₂ + α₂ V₂²/2g + z₂ + h_L

IPOTESI:

• D₁ = D₂ → V₁ = V₂ sez. = cost
• z₁ = z₂ orizzonte
• flusso completamente sviluppato α₁ = α₂

MAJOR LOSSES (perdite distribuite)

Δp = p₁ - p₂ = h_L

Δp = Φ (l/D) ρV² / 2 → h_{L MAJOR} = (l/D) (V² / 2g)

EQUAZIONE DI DARCY WEISBACH

se z₂ = z₁ ≠0 e V₁ = V₂...

p₁ - p₂ = (z₃ - z₁) + h_L = (z₂ - z₁) + (l/D) ρV² / 2

La caduta di minor e dovuta ai attriti e in parte alle variazioni di...

come trovo f = ϕ(Re, ε/d) x il moto turbolento?

L'uso combinazioni sperimentali → uso diagramma di Moody

Tabella di valori tipici per ε → rugosità equivalenti

• per alti valori
• di Reynolds
• f non dipende da Re

Materiale del Tubo

dunque dato un materiale e diametro del tubo ricavo:

• ε/d e Re
• dunque posso ricavare f dal diagramma di Moody

Equazione di Colebrook → descrive f per la parte di diagramma di Moody turbolenta

¹/_√f = -2,0 log ( ^{ε/d + 2,51}/_3,7 Re√f ) ⇒ risoluzione iterativa

Equazione di Haaland

¹/_√f = -1,8 log ( (^ε/d/_3,7)^1,11 + ^6,9/_Re )

→ è un'approssima di Lovach

Trov. il dimensionamento

Formula di Blasius per _{flussi turbolenti} ( Re<10⁵ ) in tubi lisci ( e/d=0 )

f = ^0.316/_Re^1/4

Minor Losses (Perdite localizzate)

Le perdite localizzate per ogni componente è data da correlazioni sperimentali.

In forma adimensionale definiamo il coefficiente di perdita localizzata:

k_L = ^h_minore/_{( v²/2g )} = ^ΔP/_{( ½ρv² )} ➔ ΔP = k_L ½ ρ v²

h_{minore g} = ^ΔP/_ρ ➔ ΔP = h_min - ρ

h_{L minore} = k_L ½ V²/_2g

k_L = Φ ( geometry, Re )

Se Re è molto alto e perciò h_L h_L sono convocate con la pressione dinamica e το Re stema condizioni τη ma le componenti localizzate ➔ k_L = Φ ( geometry )

Le perdite localizzate possono anche essere espresse in termini di lunghezza equivalente

^h_L/_minore = k_L V²/_2g = ^h/_{L equiv} V²/_2g

ℓ_eq = k_L D/^f

h_minore = ∑ⁱ⁼¹ _n K_L,i V^2₁/_2g