Riassunto esame Termofluidodinamica, Prof. Zanino Roberto, libro consigliato Fundamentals of fluid mechanics, Munson

Analisi dimensionale similitudini e modelli

Per rendere i risultati di un esperimento il + applicabili possibile si usa il concetto della similitudine - cosi misure fatte su un sistema (detto laboratorio) possono come usati per descrivere il comportamento di altri sistemi simili (fuori dal laboratorio) - mentre il lavoro svolto da un moderno si possono ricavare relazioni empiriche che poi fanno bisogna stabilire queste in variano moderno - meccanizia

L’analisi dimensionale → permette di ottenere combinazioni di variabili adimensionali dunque il risultato è indipendente dal sistema di R.P. scelto

Buckingham π - theorem

If an equation involving k variables is dimensionally homogeneous, it can be reduced to a relationship among k-r independent dimensionless products, where r is the minimum number of reference dimensions required to describe the variables.

NB → i prodotti adimensionali sono detti pi-terms → ∏

Un'equazione con senso fisico: μ₁=f(μ₂,μ₃,...,μ_K) ha le stesse dimensioni sia di dxsia dx significa → possiamo riarriangere i termini in un set di prodotti adimensionali: ∏₁ = φ(∏₂,∏₃,∏₄,...,∏_L-r)

r = reference dimensions

N_L, T_L, F_L / T_T

Determinazione dei π-terms

Metodo delle variabili ripetute

• Lista di tutte le variabili nel problema [proprietà del fluido, geometria, ecc] estelletemento tutte indipendenti
• Esprimere ogni variabile in termini di basic dimensions
• Determinare il numero necessario di π-terms = k-r
• Selezione un numero di variabili ripetute, questo numero è = al numero di referenze dimensions (escluse di forse la variabile dipendente) (r)

Analisi dimensionale similitudini e modelli

Per rendere i risultati di un esperimento il + applicabili possibile si usa il concetto della similitudine - così i misure fatte su un sistema (tipo laboratorio) possono essere usati per definire il comportamento di altri sistemi simili fuori laboratorio —> mentre dove studio o un modello si possono rimuovere uniche relazioni empiriche —> poi fare i bisogna stabilire questa la versione modello-reale

L’analisi dimensionale —> permette di ottenere combinazioni di variabili dannazionali dunque il risultato è indipendente dal sistema di R.F. scelto

Buckingham π - theorem

If an equation involving k variables is dimensionally homogeneous, it can be reduced to a relationship among k - r independent dimensionless products, where r is the minimum number of reference dimensions required to describe the variables.

NB -> i prodotti adimensionati sono detti pi-terms —> un’equation con forzo fisico: mi = f (mz, m3; ..., mk) ha le stesse dimensioni sia al ci si oh significa si possamo riarrangiano i termini in un set di prodotti adimensionali: Π1 = φ(Π2; Π3; Πr; ..., Πr). r = reference dimensions N, L, T, F, I

Determinazione dei π-terms

Metodo delle variabili ripetute

• Lista di tutte e le variabili nel problema. [proprietà del suo esplico, geometria, spettemene tempo individuale]
• Esprimere ogni variabile in termini di basic dimensions
• Determina il numero messesario di π-terms = k - r
• Selezionare un numero di variabili ripetute, question numero è = al numeri di reference dimensions (ectima di sono la variabile dipendente) (t)
• Passaggio 5 → forma i pi-terms moltiplicando le variabili non ripetute al prodottodelle variabili ripetute, ognuna elevata ad un certo esponente tale da rendere il prodotto adimensionato
• Passaggio 6 → ripeti 5 su ogni variabile non ripetuta rimanente → esprimere la forma finale come relazione traipi-terms

Selezione delle variabili coinvolte

6 da poter scompattare, sono classificate in 3 gruppi:

• Geometria → lunghezze, angoli...
• Proprietà del sistema → i materiali coinvolti nel sistema
• Effetti esterni → variabili che tendono a produrre una variazione nel sistema

Gruppi adimensionali comuni in fluidodinamica

Queste sono possibili combinazioni di queste variabili si usa combinare

πvℓ/μ Re

√(gℓ)/c Fr

ΔP/ρv² Eu

πv²/μ² Cₐ

πv²/c² Mₐ

πvL/γ St

Problemi con un solo pi-terms [ k-r=1 ]

Se con l’applicazione di pi-theorem ottengo un solo pi-terms questo è una costante mostra come le variabili sono relazionate tra loro

es. DMAD = f(D, v, t)

D = D_n = D_D / 4v

D = D_D / 4v

D = c = D_D = cμvD

(Valido sperimentalmente se sono costante tra DMA e l(4yD))

→ mm una sfera C=3π → D = 3πμvD

Stokes law se Re < 1

Problemi con 2 o + pi-terms

π₂ = φ(π₁) la relazione tra le variabili mi viene trovata variando π₂ eSemplificature sistema cambiando delle stesse variabili misiurando il valore di π₁

Le relazioni che trovo sono valide anche se cambio il sistema

es.

Dp_L = f(D, p, t, V) → π₂ = DΔp_L / ρV² → equazione non lineare → dunque quali equazioni spiegano non ma discutono la relazione?

π₁ = ρV / μ

Se in questo caso gli stessi dati sono in scala logaritmica → ottengo una retta e quindi un’espressione di ordine la relazione tra π₁ e π₂ → π₁ = [1.2 (h / D)^1/2] D = costanti empiriche

es. Blasius formula → caduta di pressione in tubi lisci dove 4x10³ < Re < 4x10⁵

DΔp_L / ρV² = 0,1582 (ρVD / μ)^-1/4

Modelling and similitude

A model is a representation of a physical system that may be used to predict the behavior of the system in some desired respect. The physical system for which the predictions are to be made is called the prototype.

Vediamo come fare modelli in modo tale che es sono allegri: un problema il comportamento del rispetto prototipo (modello e prototipo si comportano in modo simile)

Perchè la relazione tra pi-terms valgano x ogni sistema in cui sono coinvolte stesse variabili

Quindi voglio studiare la risposta ad un certo fenomeno sul prototipo so che la relazione tra pi-terms sarà la stesa quando stesorrfenomeno agisce sul modello (ϕ è la stema tra modello e prototipo)

1_m = ... = 1_m

Prediction equation

_{Prediction equation}

Model design

_{Conditions and similarity requirements}

_{In engineering uses}

• {ES. piano wing problem: modellato su=f(ω_m, h/γ, ρ, ν) _p-protot,

=ϕ(^w/_h) ^V_m/_w²/m

Vogliamo un modello da mano x problema DATA su un vero prototipo lo steso fenomeno è descritto dalla stema relazione x modello

^ϕ(wm)/_hm = ϕ^{wmV_m ρ_mV_m}/_μm

La somiglianza funcionante tra prototipo e modello e data delle seguenti condizioni:

^{Vwm_hm = V/_h}

Ρ^{nwV_m = ΡV_m = l_m Re}

_{Rivelo x similare e condizioni sperimentali ad una operaz}

_{Non basta prototipo un modello seérées}

Tipi di somiglianze: similitudine geometrica (modello e stolo sono sul prototipo)

Similitudine dinamica _{(tramini di Reynolds o altri)}

Un e rendono alla simulazione cemento stessa

Forma di similitudini e ^V_m/_V ᵃ_m sono constanti un modo di masilo

Tipici studi di modello

(Problemi tipici)

• Flusso in un condotto chiuso
• Flusso intorno ad un corpo immerso
• Flusso con superficie libera (Pacini)

Flusso in tubi, valvole...

1) Flusso in tubi, valvole... dominano le forze inerziali e visose siccome non ci sono espansioni, dunque Re è un parametro importante. Se il numero di Mach = M_a≫0,3 sono casi general legati alla comprimibilità, ma questi tipi di problemi non emano marcamento la similitudine geometrica inoltre potrebbe eman rilevante due punti interni, i parametri validi (Re).

Nota: Se Re è molto grande le forze visose sono trascurabili, rispetto a quelle inerziali. Re = funs sia modulo col potenziale deliso polens, al altri (Pf - Pv) = V².

Corpi completamente immersi in un fluido

2) Corpi completamente immersi in un fluido che si muove truo flusso intorno alle vite aeromobili... → questi modell vengono tratt. nei wind-tunnel e in generali:

Dipendenti pi-term sono in questo contesto due variabile dipendente divenente il drag D si sviluppa sul corpo e il dipendente pi-term rise conos come coefficiente di drag C_d.

C_D = ∫

C_D = ∅ ( l₁, ε, ^ρVℓ/_μ)

Figura 7.7

Si noti come

Inoltre vediamo che per alti Re → altri forze inerziali → C_D = indipendenteda Reynolds

Ma per problemi in cui si ha una velocità alta → Mach